Conservazione massa relativistica e quantità di moto
Ciao, amici! Credo di aver trovato la risposta ad una questione che mi impediva di risolvere un problema che ho postato qua: in un sistema isolato si conserva in generale la massa relativistica, non quella a riposo... Giusto?. Questo vale per esempio nel caso di urti. Corregetemi, vi prego, se sbaglio...
Tenendo conto di questo, risolverei così due problemini di cui il mio libro fornisce una soluzione diversa da quella che trovo:
1) Una sonda spaziale di massa a riposo $m_(0,s)=8.2*10^7$ kg e velocità iniziale $v_s$ = 0.50c collide, rimanendo attaccata ad esso formando un corpo che viaggia a velocità $v_f$ = 0.26c, con un asteroide da considerarsi a riposo del quale bisogna trovare la massa a riposo $m_(0,a)$. Io considererei che si conservino quantità di moto e massa relativistica così:
$m_(0,s)/sqrt(1-(v_s/c)^2)\vecv_s+m_(0,a)/sqrt(1-(v_a/c)^2)\vecv_a=(m_(0,s)/sqrt(1-(v_s/c)^2)+m_(0,a)/sqrt(1-(v_a/c)^2))\vecv_f$ e, dato che $v_2=0$, direi dunque che
$m_(0,2)=(m_(0,2)(v_s-v_f))/((v_f)sqrt(1-(v_s/c)^2))~~(8.2*10^7kg*(0.50-0.26)c)/(0.26c*sqrt(1-0.5^2))~~8.7*10^7kg$ mentre il libro dà $9.4*10^7$ kg...
2) I secondo problemino la cui soluzione che io trovo non coincide con quella che dà il libro propone di trovare la velocità $v_f$ di un oggetto formatosi dall'urto completamente anelastico di due satelliti di massa a riposo rispettivamente $m_(0,1)$ = 200 kg e $m_(0,2)$ = 100 kg che marciano uno verso l'altro a velocità $v_1$ = 0.800c e $v_2$=0.600c. Anche qui considererei costanti la somma delle masse relativistiche e quella delle quantità di moto:
$m_(0,1)/sqrt(1-(v_1/c)^2)v_2-m_(0,2)/sqrt(1-(v_a/c)^2)v_2=(m_(0,1)/sqrt(1-(v_1/c)^2)+m_(0,2)/sqrt(1-(v_2/c)^2))v_f$ da cui mi pare immediato concludere che
$v_f=((200kg*0.800c)/sqrt(1-0.800^2)-(100kg*0.600c)/sqrt(1-0.600^2))/((200kg)/sqrt(1-0.800^2)+(100kg)/sqrt(1-0.600^2))~~0.418c$ che curiosamente è una delle risposte tra cui scegliere la giusta nel test a crocette, ma quella data per giusta dal libro è 0.333c...
Che cosa ne pensate? È giusta la mia interpretazione della conservazione della massa e della quantità di moto?
Ciao e grazie $+oo$ a tutti!
Davide
Tenendo conto di questo, risolverei così due problemini di cui il mio libro fornisce una soluzione diversa da quella che trovo:
1) Una sonda spaziale di massa a riposo $m_(0,s)=8.2*10^7$ kg e velocità iniziale $v_s$ = 0.50c collide, rimanendo attaccata ad esso formando un corpo che viaggia a velocità $v_f$ = 0.26c, con un asteroide da considerarsi a riposo del quale bisogna trovare la massa a riposo $m_(0,a)$. Io considererei che si conservino quantità di moto e massa relativistica così:
$m_(0,s)/sqrt(1-(v_s/c)^2)\vecv_s+m_(0,a)/sqrt(1-(v_a/c)^2)\vecv_a=(m_(0,s)/sqrt(1-(v_s/c)^2)+m_(0,a)/sqrt(1-(v_a/c)^2))\vecv_f$ e, dato che $v_2=0$, direi dunque che
$m_(0,2)=(m_(0,2)(v_s-v_f))/((v_f)sqrt(1-(v_s/c)^2))~~(8.2*10^7kg*(0.50-0.26)c)/(0.26c*sqrt(1-0.5^2))~~8.7*10^7kg$ mentre il libro dà $9.4*10^7$ kg...
2) I secondo problemino la cui soluzione che io trovo non coincide con quella che dà il libro propone di trovare la velocità $v_f$ di un oggetto formatosi dall'urto completamente anelastico di due satelliti di massa a riposo rispettivamente $m_(0,1)$ = 200 kg e $m_(0,2)$ = 100 kg che marciano uno verso l'altro a velocità $v_1$ = 0.800c e $v_2$=0.600c. Anche qui considererei costanti la somma delle masse relativistiche e quella delle quantità di moto:
$m_(0,1)/sqrt(1-(v_1/c)^2)v_2-m_(0,2)/sqrt(1-(v_a/c)^2)v_2=(m_(0,1)/sqrt(1-(v_1/c)^2)+m_(0,2)/sqrt(1-(v_2/c)^2))v_f$ da cui mi pare immediato concludere che
$v_f=((200kg*0.800c)/sqrt(1-0.800^2)-(100kg*0.600c)/sqrt(1-0.600^2))/((200kg)/sqrt(1-0.800^2)+(100kg)/sqrt(1-0.600^2))~~0.418c$ che curiosamente è una delle risposte tra cui scegliere la giusta nel test a crocette, ma quella data per giusta dal libro è 0.333c...
Che cosa ne pensate? È giusta la mia interpretazione della conservazione della massa e della quantità di moto?
Ciao e grazie $+oo$ a tutti!
Davide
Risposte
ciao, ho provato a fare il primo es.
l'espressione del secondo termine è sbagliata: le velocità nelle 2 radici sotto infatti non sono più quelle iniziali, ma quella finale, cioè vf
l'espressione del secondo termine è sbagliata: le velocità nelle 2 radici sotto infatti non sono più quelle iniziali, ma quella finale, cioè vf
Grazie, Skyluke!
Un attimo (mi scuso per l'ignoranza, ma il mio libro, che seguo da solo per diletto e non accademicamente o scolasticamente, non affronta nello specifico questa questione e presenta solo degli esercizi): se in un sistema isolato si conserva in generale la massa relativistica, non quella a riposo (giusto... o no?) non si dovrebbe conservare la massa relativistica totale, che è la somma delle due masse relativistiche (che insieme vanno alla velocità $v_f$) che abbiamo all'inizio $m_s+m_a=m_(0,s)/sqrt(1-(v_s/c)^2)+m_(0,a)/sqrt(1-(v_a/c)^2)$? Conservandosi poi la quantità di moto, mi sembra che l'uguaglianza regga... mi sbaglio?
Grazie infinite ancora!
Un attimo (mi scuso per l'ignoranza, ma il mio libro, che seguo da solo per diletto e non accademicamente o scolasticamente, non affronta nello specifico questa questione e presenta solo degli esercizi): se in un sistema isolato si conserva in generale la massa relativistica, non quella a riposo (giusto... o no?) non si dovrebbe conservare la massa relativistica totale, che è la somma delle due masse relativistiche (che insieme vanno alla velocità $v_f$) che abbiamo all'inizio $m_s+m_a=m_(0,s)/sqrt(1-(v_s/c)^2)+m_(0,a)/sqrt(1-(v_a/c)^2)$? Conservandosi poi la quantità di moto, mi sembra che l'uguaglianza regga... mi sbaglio?
Grazie infinite ancora!
si, è corretto.
Tante grazie quanta la $\DeltaK$ necessaria ad accelerare a c! 
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