Conservazione energia rototraslazionale puro rotolamento
Ciao,
sto preparando un esame e mi sono imbattuto in questo problema:
un cilindro omogeneo di massa m e raggio r rotola senza strisciare su di un piano orizzontale con velocita del centro vi massa=v. Poi comincia a salire come in figura senza strisciare su un piano pendente φ. Determina lo spazio percorso dal cilindro lungo il piano inclinato prima di fermarsi.
Ho ragionato semplicemente con la conservazione dell'energia E=K+U
All'istante iniziale K=0.5*I_cilindro* (v/r)^2 + 0.5*m*v^2 ed U=0 con I_cilindro valutato ne centro di massa = 0.5*m*r^2
All'istante finale, quando il cilindro si fermerà, avro K=0 (si ferma, quindi non trasla nè ruota) ed U=mgh
Uguagliando 0.5*I_cilindro* (v/r)^2 + 0.5*m*v^2 = mgh_fin, ottengo h_fin= (3v^2)/(4g) e dunque lo spazio percorso sul piano inclinato è pari ad h_fin*(1/ sin φ)
A me il ragionamento sembra tornare, ma non mi trovo con la soluzione.. voi che ne pensate?
Grazieee
A me il ragionamento sembra tornare, ma non mi trovo con la soluzione.. voi che ne pensate?
Grazieee
sto preparando un esame e mi sono imbattuto in questo problema:
un cilindro omogeneo di massa m e raggio r rotola senza strisciare su di un piano orizzontale con velocita del centro vi massa=v. Poi comincia a salire come in figura senza strisciare su un piano pendente φ. Determina lo spazio percorso dal cilindro lungo il piano inclinato prima di fermarsi.
Ho ragionato semplicemente con la conservazione dell'energia E=K+U
All'istante iniziale K=0.5*I_cilindro* (v/r)^2 + 0.5*m*v^2 ed U=0 con I_cilindro valutato ne centro di massa = 0.5*m*r^2
All'istante finale, quando il cilindro si fermerà, avro K=0 (si ferma, quindi non trasla nè ruota) ed U=mgh
Uguagliando 0.5*I_cilindro* (v/r)^2 + 0.5*m*v^2 = mgh_fin, ottengo h_fin= (3v^2)/(4g) e dunque lo spazio percorso sul piano inclinato è pari ad h_fin*(1/ sin φ)
A me il ragionamento sembra tornare, ma non mi trovo con la soluzione.. voi che ne pensate?
Grazieee
A me il ragionamento sembra tornare, ma non mi trovo con la soluzione.. voi che ne pensate?
Grazieee
Risposte
Le formule son difficili da leggere, ma mi pare che se l'energia potenziale finale e contata a partire dal piano orizzontale, allora quella iniziale deve essere $mgR$, e non 0.
Ma non sono certo se non usi editor per le formule
Ma non sono certo se non usi editor per le formule
Ciao, forse intendi che l'equazione debba essere scritta cosi?:
e considerando quindi la situazione finale schematizzata in figura:
ottengo:
L'unico errore stava nel non considerare che il sistema è centrato nel centro del corpo e che devo quindi considerare anche il raggio R come quota?
e considerando quindi la situazione finale schematizzata in figura:
ottengo:
L'unico errore stava nel non considerare che il sistema è centrato nel centro del corpo e che devo quindi considerare anche il raggio R come quota?
Leggo da cellulare e fino a martedi non posso rispondere. Ma a occhio sembra di no.
Spero che nel frattempo intervenga qualcuno ad aiutarti, io sono impossibilitato
Spero che nel frattempo intervenga qualcuno ad aiutarti, io sono impossibilitato
L'energia potenziale va calcolata in base alla posizione del centro di massa
Se il centro di massa coincide con l'origine degli assi come in figura, all'istante iniziale la forza peso che è applicata al centro del corpo ha altezza nulla, quindi E_i ha l'espressione come sopra eccetto il termine mgR
Nella situazione finale invece l'espressione E_f è corretta?
Oltre alla conservazione dell'energia, ho provato a impostare il problema con le leggi deella dinamica ma mi sono fermato subito
Nella situazione finale invece l'espressione E_f è corretta?
Oltre alla conservazione dell'energia, ho provato a impostare il problema con le leggi deella dinamica ma mi sono fermato subito
Ho provato a ripercorrere l'esercizio ma non riesco a capire dove sbaglio
Energia potenziale all'inizio (Rispetto al piano orizzontale):
$E_1=3/4mv^2+mgR=[3mv^2+4mgR]/4$
Alla fine:
$E_2=mgh_f$
Da cui ricavi $h_f=[3v^2+4gR]/[4g]$
La relazione che lega la distanza $d$ percorsa lungo il cuneo, a partire dalla base e':
$dsintheta+Rcostheta=h_f$, da cui ricavi $d=[3v^2+4gR(1-costheta)]/[4gsintheta]$
$E_1=3/4mv^2+mgR=[3mv^2+4mgR]/4$
Alla fine:
$E_2=mgh_f$
Da cui ricavi $h_f=[3v^2+4gR]/[4g]$
La relazione che lega la distanza $d$ percorsa lungo il cuneo, a partire dalla base e':
$dsintheta+Rcostheta=h_f$, da cui ricavi $d=[3v^2+4gR(1-costheta)]/[4gsintheta]$
"professorkappa":
Energia potenziale all'inizio (Rispetto al piano orizzontale):
$E_1=3/4mv^2+mgR=[3mv^2+4mgR]/4$
Alla fine:
$E_2=mgh_f$
Da cui ricavi $h_f=[3v^2+4gR]/[4g]$
La relazione che lega la distanza $d$ percorsa lungo il cuneo, a partire dalla base e':
$dsintheta+Rcostheta=h_f$, da cui ricavi $d=[3v^2+4gR(1-costheta)]/[4gsintheta]$
Non riesco a capire il termine $Rcostheta$ in $dsintheta+Rcostheta=h_f$.. a me viene da pensare costruito come come ho fatto in figura, quindi lo vedrei come $\frac{R}{costheta}$ con $R$ cateto (applicando cosi il teo dei triangoli rettangoli..)
E KN come lo calcoli? Io ho semplicemente proiettato lo spostamento incognito e il vettore HO lungo la verticale. Mi pare il modo piu semplice. Non mi pare che il tuo sia giusto, lo riguardero' da PC piu tardi, ma mi pare scorretto
"professorkappa":
E KN come lo calcoli? Io ho semplicemente proiettato lo spostamento incognito e il vettore HO lungo la verticale. Mi pare il modo piu semplice. Non mi pare che il tuo sia giusto, lo riguardero' da PC piu tardi, ma mi pare scorretto
Alternativamente si può ragionare cosi:?
Chiamando A il vertice del triangolo con angolo $\theta$ e chiamando $d$ l'effettiva distanza percorsa sull'ipotenusa (che sarebbe $AH$ (????)) allora:
$NH=OH tan\theta= R tan\theta$
$AN=AH-NH=d-R tan\theta$
allora $NK=AN sin\theta = (d-r tan\theta) sin\theta$
Impongo cosi $h_f = NK+ON$ e mi ricavo d..
Sara' pure cosi, non sono ancora davanti al PC, ma ti tendi conto che stai scrivendo vagonate di relazioni quando puo' essere fatto molto piu' direttamente come ti ho mostrato io?
Si. Hai fatto giusto. Ma, ripeto, se sviluppi quella paccata di calcoli ti viene esattamente la relazione che ho scritto io in un colpo solo. Un po tortuosa come via
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