Conservazione energia e piccole oscillazioni
Ho bisogno del vostro aiuto per comprendere la parte due della risoluzione di questo esercizio:
In particolare al punto 2 non capisco perchè si fa la derivata e perchè poi ci "permettiamo" di dividere $I\theta$.
Secondo voi c'era una soluzione alternativa?
In particolare al punto 2 non capisco perchè si fa la derivata e perchè poi ci "permettiamo" di dividere $I\theta$.
Secondo voi c'era una soluzione alternativa?
Risposte
L'energia si conserva, quindi è una costante del moto, quindi la sua derivata temporale è nulla per definizione. E' il modo standard con il quale si sfruttano le costanti del moto per trovare le equazioni del moto, cosa che ti serve per avere informazioni su posizione e velocità dei corpi.
La divisione che fa è lecita purché quella grandezza sia diversa da zero, è come dividere per un numero, non cambia l'equazione.
La soluzione alternativa te la dà direttamente utilizzando la seconda equazione cardinale. Se vuoi c'è anche la terza via che passa attraverso la teoria vera e propria delle piccole oscillazioni, che qui è un po' aggirata. Trovi i punti stazionari del sistema, calcoli l'hessiana, sviluppi attorno al minimo per trovare la lagrangiana, scrivi le forme quadratiche associate e cerchi la soluzione alle equazioni del moto che puoi scrivere con esse. Come vedi devi arrivare lo stesso alle equazioni del moto, in questo caso sfrutti una simmetria, derivante dall'omogeneità del tempo, per osservare che l'energia è una costante del moto e quindi si conserva: scrivendo l'energia totale e derivando nel tempo giungi subito all'equazione del moto. Le simmetrie aiutano tanto in fisica, fanno risparmiare mooolto tempo
La divisione che fa è lecita purché quella grandezza sia diversa da zero, è come dividere per un numero, non cambia l'equazione.
La soluzione alternativa te la dà direttamente utilizzando la seconda equazione cardinale. Se vuoi c'è anche la terza via che passa attraverso la teoria vera e propria delle piccole oscillazioni, che qui è un po' aggirata. Trovi i punti stazionari del sistema, calcoli l'hessiana, sviluppi attorno al minimo per trovare la lagrangiana, scrivi le forme quadratiche associate e cerchi la soluzione alle equazioni del moto che puoi scrivere con esse. Come vedi devi arrivare lo stesso alle equazioni del moto, in questo caso sfrutti una simmetria, derivante dall'omogeneità del tempo, per osservare che l'energia è una costante del moto e quindi si conserva: scrivendo l'energia totale e derivando nel tempo giungi subito all'equazione del moto. Le simmetrie aiutano tanto in fisica, fanno risparmiare mooolto tempo
perdonami, ma è quasi poesia quanto da te enunciato nell'ultima parte! E' un complimento!
Sono concetti che ho fatto ad analisi 2 ma ho purtroppo messo nel cassetto, credo che il miglior modo sarebbe quello di studiare analisi accanto alla fisica in modo che questi concetti rimangano. Analisi 2 sec. me è una materia direi quasi astratta e solo quando tocchi i concetti di fisica emerge in tutta la sua interezza.
Comunque ho capito ma non ci sarei mai arrivato.
Sono concetti che ho fatto ad analisi 2 ma ho purtroppo messo nel cassetto, credo che il miglior modo sarebbe quello di studiare analisi accanto alla fisica in modo che questi concetti rimangano. Analisi 2 sec. me è una materia direi quasi astratta e solo quando tocchi i concetti di fisica emerge in tutta la sua interezza.
Comunque ho capito ma non ci sarei mai arrivato.
Forse potresti farla più semplice considerando che questo è un pendolo composto, per cui vale la relazione $I\ddottheta = M$
E nel caso nostro si ha $M = -2mg2Rsin theta$ che, per piccole oscillazioni diventa $-4mgRtheta$.
Poi, per analogia con le legge del pendolo $m\ddotx = -kx -> T = 1/(2pi)sqrt(m/k)$, ricavi $T$ per il tuo caso, che, salvo errori miei, darebbe $T = 1/(2pi)sqrt(I/(4mgR))$
E nel caso nostro si ha $M = -2mg2Rsin theta$ che, per piccole oscillazioni diventa $-4mgRtheta$.
Poi, per analogia con le legge del pendolo $m\ddotx = -kx -> T = 1/(2pi)sqrt(m/k)$, ricavi $T$ per il tuo caso, che, salvo errori miei, darebbe $T = 1/(2pi)sqrt(I/(4mgR))$
Assolutamente geniale! Grazie
Io cerco sempre di tenere separate le due cose, matematica e fisica, ma ognuno sceglie la sua via. Se vuoi provare con uno studio di quel tipo ti consiglio di guardare qualche testo di metodi matematici per la fisica. Ce ne sono alcuni molto ben fatti, che legano bene anche argomenti di algebra lineare o analisi più avanzata 
PS: aggiungo che un testo molto chiaro che lessi in passato era G. Cicogna. Non tratta di analisi 2 se non erro però.
PS: aggiungo che un testo molto chiaro che lessi in passato era G. Cicogna. Non tratta di analisi 2 se non erro però.
"Nikikinki":
Io cerco sempre di tenere separate le due cose, matematica e fisica, ma ognuno sceglie la sua via.
Suppongo che questo significhi disapprovazione per il mio suggerimento, ma ma ne sfugge il senso...
No no ma figurati , ho solo risposto alla risposta che mi aveva dato l'utente. Anzi gli ho detto che ci sono alcuni concetti che ho trovato interessanti nell' ottica di metodi per la fisica. Ho trovato anche molto formativo lo studio dell'analisi tensoriale accostato alla fisica. Però personalmente l'analisi di base l'ho preferita fatta a parte. Non mi permetterei mai di disapprovare un suggerimento, lo studio è troppo personale per essere accentrato su una singola visione. Scusami se ti è parso in quel senso, non era mia intenzione.
Edit: per essere chiari mi riferivo al fatto che l'utente avesse posto il problema dello studio dell'analisi 2 non mi riferivo per nulla alla tua soluzione, infatti non capivo cosa a cosa ti riferissi
, ho solo risposto alla risposta che mi aveva dato l'utente. Anzi gli ho detto che ci sono alcuni concetti che ho trovato interessanti nell' ottica di metodi per la fisica. Ho trovato anche molto formativo lo studio dell'analisi tensoriale accostato alla fisica. Però personalmente l'analisi di base l'ho preferita fatta a parte. Non mi permetterei mai di disapprovare un suggerimento, lo studio è troppo personale per essere accentrato su una singola visione. Scusami se ti è parso in quel senso, non era mia intenzione. Edit: per essere chiari mi riferivo al fatto che l'utente avesse posto il problema dello studio dell'analisi 2 non mi riferivo per nulla alla tua soluzione, infatti non capivo cosa a cosa ti riferissi
@nikikinky [ot]Tutto ok, Forse ho i nervi un po' tesi[/ot]
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