Conservazione della portata in massa
Ragazzi scusate, ho bisogno di un aiuto sulla dimostrazione che porta alla formula $ dot(m)=rho uS $
Sono partito dall'equazione di continuità in forma integrale e sono arrivato alla forma differenziale e fin qui nessun problema: $ (partial rho) /(partial t)+grad \cdot (rho V)=0 $
Considerando poi il caso stazionario, resta:
$grad \cdot (rho V)=0$
Per un flusso unidimensionale, avrò:
$ d/(dx)(rho u)=0 $
E quindi $rho u=$ costante
Ma la sezione S da dove la tiro fuori?? Forse ho sbagliato strada o è una cavolata quella che mi sfugge. Suggerimenti? Grazie
Sono partito dall'equazione di continuità in forma integrale e sono arrivato alla forma differenziale e fin qui nessun problema: $ (partial rho) /(partial t)+grad \cdot (rho V)=0 $
Considerando poi il caso stazionario, resta:
$grad \cdot (rho V)=0$
Per un flusso unidimensionale, avrò:
$ d/(dx)(rho u)=0 $
E quindi $rho u=$ costante
Ma la sezione S da dove la tiro fuori?? Forse ho sbagliato strada o è una cavolata quella che mi sfugge. Suggerimenti? Grazie
Risposte
Cosa non ti torna?
Nel caso il moto fosse rigorosamente monodimensionale lungo $x$ deve valere che il prodotto tra velocità e densità resti costante, qualunque sia la sezione considerata.
Non mi rispondere che vuoi vedere da quella formula che se la sezione diminuisce la velocità aumenterebbe, perché non lo puoi vedere con le ipotesi che hai fatto, visto che se la sezione si riduce il moto non avverrebbe solo lungo $x$
Nel caso il moto fosse rigorosamente monodimensionale lungo $x$ deve valere che il prodotto tra velocità e densità resti costante, qualunque sia la sezione considerata.
Non mi rispondere che vuoi vedere da quella formula che se la sezione diminuisce la velocità aumenterebbe, perché non lo puoi vedere con le ipotesi che hai fatto, visto che se la sezione si riduce il moto non avverrebbe solo lungo $x$
Ah ok grazie! Ma comunque il mio problema non è dimostrare come deve cambiare la velocità se il fluido entra in un condotto a sezione variabile ma voglio proprio dimostrare la formula $dot(m)=rhouA$ partendo dall'equazione di bilancio massa (credo ci siano altri metodi semplificati ma ho bisogno di questo.
In pratica il mio prof, partendo dall'equazione di bilancio della massa in forma integrale e facendo l'ipotesi di flusso stazionario, ha scritto quello che resta dell'equazione e cioè:
$ int_(S)^() rho(vecu\cdot vec(n)) dA =0 $
Nel caso di flusso 1-D, grazie al teorema di Gauss diventa (e qui ha saltato tutti i passaggi..io con Gauss ero passato a integrale di volume e poi alla forma differenziale):
$ d/(dx)(rhouA)=0 $ (a me questa veniva senza la sezione)
e quindi $dot(m)=rhouA$
Cosa cambia rispetto al mio metodo?
In pratica il mio prof, partendo dall'equazione di bilancio della massa in forma integrale e facendo l'ipotesi di flusso stazionario, ha scritto quello che resta dell'equazione e cioè:
$ int_(S)^() rho(vecu\cdot vec(n)) dA =0 $
Nel caso di flusso 1-D, grazie al teorema di Gauss diventa (e qui ha saltato tutti i passaggi..io con Gauss ero passato a integrale di volume e poi alla forma differenziale):
$ d/(dx)(rhouA)=0 $ (a me questa veniva senza la sezione)
e quindi $dot(m)=rhouA$
Cosa cambia rispetto al mio metodo?
Mancano dei passaggi fondamentali soprattutto sul significato di quella $A$ alla fine.
In quel caso si parla di moto QUASI monodimensionale.
Prova a dare un'occhiata a questo pdf.
In quel caso si parla di moto QUASI monodimensionale.
Prova a dare un'occhiata a questo pdf.
Grazie mille mi era sfuggito questo dettaglio!! Per la dimostrazione ho approfondito un pò e mi sono ricordato di averla fatta in termofluidodinamica qualche anno fa quindi ora quella è chiara.
Quindi in pratica se ho capito bene, se ho un condotto a sezione costante posso fare l'approssimazione di flusso monodimensionale, perché trascuro la variazione delle proprietà del fluido lungo tutte le direzioni tranne quella del flusso, e posso farlo perché tutte le particelle fluide proseguono nella stessa direzione (trascurando gli attriti a parete).
Invece se il condotto è a sezione variabile parlerò di flusso quasi-monodimensionale perché il vettore velocità in teoria varia la sua direzione (e anche il suo modulo) e quindi faccio anche queste approssimazioni per avvicinarmi al caso unidimensionale:
- considero una velocità media tra quella delle particelle fluide in modo che il vettore risultante sia sempre parallelo e all'asse del condotto e giacente su esso --> direzione costante ma modulo variabile con la sezione
- la variazione di sezione deve essere graduale per avere variazioni di direzione piccole e poter approssimare
Concettualmente è così? Comunque grazie
Quindi in pratica se ho capito bene, se ho un condotto a sezione costante posso fare l'approssimazione di flusso monodimensionale, perché trascuro la variazione delle proprietà del fluido lungo tutte le direzioni tranne quella del flusso, e posso farlo perché tutte le particelle fluide proseguono nella stessa direzione (trascurando gli attriti a parete).
Invece se il condotto è a sezione variabile parlerò di flusso quasi-monodimensionale perché il vettore velocità in teoria varia la sua direzione (e anche il suo modulo) e quindi faccio anche queste approssimazioni per avvicinarmi al caso unidimensionale:
- considero una velocità media tra quella delle particelle fluide in modo che il vettore risultante sia sempre parallelo e all'asse del condotto e giacente su esso --> direzione costante ma modulo variabile con la sezione
- la variazione di sezione deve essere graduale per avere variazioni di direzione piccole e poter approssimare
Concettualmente è così? Comunque grazie
Quanto posso dire io si riassume con
Perfetto grazie 
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