Conservazione del momento angolare assiale
Mi aiutereste a capire una frase che trovo sul manuale di fisica generale di Focardi-Massa-Uguzzoni? Si parla di corpi rigidi. Indico con $\vec{Q}, \vec{P}, \vec{F^((e))}, \vec{M^((e))}$ rispettivamente la quantità di moto, il momento angolare, il risultante delle forze esterne e il momento risultante delle forze esterne (i momenti sono calcolati rispetto ad un polo fisso). Il pedice $z$ indica la componente del vettore lungo l'asse $z$.
Il testo osserva che dalla seconda equazione cardinale della meccanica ($\vec{M^((e))}=\frac{"d"\vec{P}}{"d"t}$) si può ricavare una proprietà di conservazione del momento angolare assiale: se $M_z^((e))=0$ allora $P_z$ si conserva. Come esempio porta il caso di un tuffatore che, dopo lo stacco dal trampolino, riesce ad aumentare la propria velocità angolare rannicchiandosi su sé stesso. Questo perché, rannicchiandosi, il tuffatore riduce il proprio momento di inerzia $I$; dal momento che il momento angolare assiale è dato proprio da $Iomega$, necessariamente $omega$ deve aumentare per compensare.
Poi il testo muove una possibile obiezione:
??? "Ingessato"??? (Questi sono i momenti in cui, confesso, non sopporto i libri di fisica
).
Il fatto che $P_z=Iomega$ in effetti è proprio dei corpi rigidi, perché discende sostanzialmente dal fatto che $omega$ sia uguale per tutti i punti del sistema.
Il testo osserva che dalla seconda equazione cardinale della meccanica ($\vec{M^((e))}=\frac{"d"\vec{P}}{"d"t}$) si può ricavare una proprietà di conservazione del momento angolare assiale: se $M_z^((e))=0$ allora $P_z$ si conserva. Come esempio porta il caso di un tuffatore che, dopo lo stacco dal trampolino, riesce ad aumentare la propria velocità angolare rannicchiandosi su sé stesso. Questo perché, rannicchiandosi, il tuffatore riduce il proprio momento di inerzia $I$; dal momento che il momento angolare assiale è dato proprio da $Iomega$, necessariamente $omega$ deve aumentare per compensare.
Poi il testo muove una possibile obiezione:
Si potrebbe obiettare sull'applicazione di una espressione ($Iomega$), dimostrata per i sistemi rigidi, anche nel caso di un sistema che rigido non è: in realtà il procedimento è corretto, in quanto viene applicato alle situazioni iniziale e finale, considerando il sistema come se fosse "ingessato" in tali configurazioni, nelle quali tutti i punti hanno la stessa velocità angolare.
??? "Ingessato"??? (Questi sono i momenti in cui, confesso, non sopporto i libri di fisica
).Il fatto che $P_z=Iomega$ in effetti è proprio dei corpi rigidi, perché discende sostanzialmente dal fatto che $omega$ sia uguale per tutti i punti del sistema.
Risposte
Io la vedo così: la conservazione del momento angolare si ricava per un generico sistema di punti materiali, quando il momento delle forze esterne è zero (e vale la III legge di Newton in forma forte).
Nel caso del tuffatore, quando egli è assimilabile a un corpo rigido, il suo momento angolare di rotazione è dato da $I*omega$, in particolare nella situazione iniziale e finale. Conservandosi il momento angolare, possiamo eguagliare le due espressioni che ci danno tale momento nella situazione iniziale e in quella finale, il che ci permette di fare le considerazioni del caso.
Il fatto che durante il "rannicchiamento" il tuffatore non sia un corpo rigido ci importa poco, come detto la conservazione del momento angolare si ricava per un generico sistema di punti materiali, mantengano essi costante la propria posizione rispetto agli altri punti del sistema o meno; il fatto è che negli istanti iniziale e finale (corpo rigido) l'espressione del momento è particolarmente semplice.
Ma forse non ho capito il tuo dubbio o mi sono spiegato male o ho scritto vaccate.
Nel caso del tuffatore, quando egli è assimilabile a un corpo rigido, il suo momento angolare di rotazione è dato da $I*omega$, in particolare nella situazione iniziale e finale. Conservandosi il momento angolare, possiamo eguagliare le due espressioni che ci danno tale momento nella situazione iniziale e in quella finale, il che ci permette di fare le considerazioni del caso.
Il fatto che durante il "rannicchiamento" il tuffatore non sia un corpo rigido ci importa poco, come detto la conservazione del momento angolare si ricava per un generico sistema di punti materiali, mantengano essi costante la propria posizione rispetto agli altri punti del sistema o meno; il fatto è che negli istanti iniziale e finale (corpo rigido) l'espressione del momento è particolarmente semplice.
Ma forse non ho capito il tuo dubbio o mi sono spiegato male o ho scritto vaccate.
"strangolatoremancino":Hai capito perfettamente qual è il mio dubbio e ti sei spiegato benissimo. Sulle vaccate non sono il più adatto a giudicare, ma non mi pare proprio che tu ne abbia sparate!
Ma forse non ho capito il tuo dubbio o mi sono spiegato male o ho scritto vaccate.
strangoaltoremancino ha detto giusto. Per precisare meglio si può aggiungere che la velocità angolare $omega$ (e quindi le sue derivate) non è definibile per un corpo non rigido (o meglio non è unica sul corpo stesso). Questo motiva la necessità di avere il corpo 'ingessato' negli istanti iniziali e finali non per la validità all'equazione della dinamica ma per dare significato all'espressione $I omega$ come momento della quantità di moto.
"strangolatoremancino":
l'espressione del momento è particolarmente semplice.
"mircoFN":
l'espressione $I omega$ come momento della quantità di moto.
Visto che ci siamo vorrei togliermi un dubbio riguardo queste affermazioni. Quand'è che il momento assiale della quantità di moto ha questa espressione? (l'espressione è $Iomega$, e suppongo sempre che il corpo sia rigido).
Ho capito che questo succede se il corpo ruota con asse fisso. Ma se invece il corpo ruota e trasla? Istantaneamente direi che l'espressione è ancora valida, solo che se l'asse si sposta rispetto al corpo $I$ potrebbe non essere costante. Mi sbaglio?
In questo caso ci viene in aiuto il teorema di König, il quale afferma che il momento angolare $vec(L)$ di un sistema di punti materiali rispetto a un polo $O$ è uguale alla somma del momento angolare $vec(L')$ del sistema rispetto al centro di massa più il prodotto vettoriale $vec(r_(cm))" " X" "M*vec(v_(cm))$, dove $vec(r_(cm))$ è la posizione del centro di massa rispetto a $O$, $M$ la massa totale del sistema e $vec(v_(cm))$ la velocità del centro di massa rispetto a $O$
$vec(L)=vec(L') + vec(r_(cm))" " X" "M*vec(v_(cm))$
$vec(L')$ è detto momento angolare di rotazione, e tiene conto del moto del sistema di punti attorno al centro di massa. Nel caso del corpo rigido possiamo individuare un asse di rotazione e scrivere $I*omega$, calcolati entrambi rispetto a tale asse passante per il centro di massa. Rimane il problema se poter scrivere una relazione scalare o vettoriale, per quest'ultima occorre che il corpo sia simmetrico rispetto all'asse di rotazione.
La quantità $vec(r_(cm))" " X" "M*vec(v_(cm))$ è detta momento angolare orbitale, che tiene conto diciamo del movimento "complessivo" del sistema rispetto ad $O$.
Aspettiamo comunque MircoFN, che sicuramente non avrà fatto solo fisica I ma anche un poco più di meccanica
$vec(L)=vec(L') + vec(r_(cm))" " X" "M*vec(v_(cm))$
$vec(L')$ è detto momento angolare di rotazione, e tiene conto del moto del sistema di punti attorno al centro di massa. Nel caso del corpo rigido possiamo individuare un asse di rotazione e scrivere $I*omega$, calcolati entrambi rispetto a tale asse passante per il centro di massa. Rimane il problema se poter scrivere una relazione scalare o vettoriale, per quest'ultima occorre che il corpo sia simmetrico rispetto all'asse di rotazione.
La quantità $vec(r_(cm))" " X" "M*vec(v_(cm))$ è detta momento angolare orbitale, che tiene conto diciamo del movimento "complessivo" del sistema rispetto ad $O$.
Aspettiamo comunque MircoFN, che sicuramente non avrà fatto solo fisica I ma anche un poco più di meccanica
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