Conservazione del momento angolare

[tgrammer]

Due piccole sfere A e B, ciascuna di massa M, sono collegate fra loro da un’asta rigida, priva di massa, di lunghezza d. Il sistema giace su una superficie orizzontale liscia. Un punto C, anch’esso di massa M, che si muove sullo stesso piano con velocità vo perpendicolare alla direzione di AB, urta in modo completamente anelastico la sfera B.
Calcolare qual è, dopo l’urto la velocità angolare di rotazione attorno al centro di massa.

i calcoli che faccio sono:
prendendo asse positivo verso destra e ponendomi al centro della sbarra, quindi a $ d/2 $ , il nuovo CM si troverà a una distanza di $ d/6 $ dal centro, spostato verso destra

faccio una conservazione del momento angolare, tra l'istante immediatamente prima dell'urto e l'istante immediatamente dopo l'urto, entrambi calcolati rispetto a questo nuovo CM:

momento angolare iniziale: $ Mv_o(d/2-d/6)=Mv_0d/3 $
momento angolare finale: $ Iω $ dove $ I=M(d/6)^2+2M(d/2-d/6)^2=M/4d^2 $

quindi $ Mv_0d/3=Iω $ da cui $ ω=v_0/d4/3 $ ma il risultato dovrebbe essere $ ω=v_0/(2d) $

cosa sbaglio? perchè rifacendo i calcoli rispetto al polo B, riesco a calcolare la giusta velocità angolare, ma facendoli rispetto al centro della sbarra, come ho riportato qui, no.. come mai?

[mgrau]

"tgrammer":
momento angolare finale: $ Iω $ dove $ I=M(d/6)^2+2M(d/2-d/6)^2=M/4d^2 $

Non è $2M(d/2 - d/6)^2$ ma $M(d/2 - d/6)^2 + M(d/2 + d/6)^2$

[tgrammer]

$ M(d/6)^2 $ è il momento di inerzia del punto A
i punti B e C si trovano entrambi a distanza $ (d/2-d/6) $ dal nuovo CM a $ d/6 $ dal centro della sbarra
[i calcoli li ho fatti rispetto al centro della sbarra, appunto]

scusami non mi è ancora chiaro

[Shackle]

Avendo calcolato il momento angolare iniziale rispetto al CM finale, dopo l’urto, devi calcolare anche il momento angolare finale rispetto allo stesso punto . Hai sbagliato il m.i. rispetto al CM finale , deve essere $I = 2/3Md^2$. Ripeti il calcolo attentamente.

Il risultato del libro è corretto.

[tgrammer]

è quello che ho fatto, calcolare anche il momento angolare finale rispetto al nuovo punto, fissando lo zero dell'asse x al centro della sbarra.. purtroppo i calcoli non mi tornano

[Shackle]

Disegna un segmento lungo $d$ , chiamalo AB ; in A , a sn, c’è una massa M ; in B, a destra, dopo la collisione anelastica la massa è 2M . Lascia stare il centro dell’asta , non ti serve. Dove si trova il CM finale del sistema?

Se prendi l’origine in A , hai : $x_(CM) = (2Md)/(3M) = 2/3d$

quindi il CM dista $2/3d$ da A , e $1/3d$ da B . Ci sei?

Perciò , rispetto a un asse perpendicolare all’asta e passante per il CM , il momento di inerzia è :

$I = M(2/3d)^2 + 2M(d/3)^2$

Ora vai avanti.

[tgrammer]

chiarissimo