Connessione metrica

[GiulyDel]

In una varietà si possono definire molti tipi di connessioni ad ognuna delle quali corrisponde una diversa derivata covariante. Nel caso specifico occorre definire una connessione particolare che soddisfa determinate condizioni di vincolo:

1) tensore di torsione nullo, cioè connessione simmetrica;
2) derivata covariante della metrica nulla;

Volevo sapere se è possibile dimostrare questa particolare proprietà del tensore metrico, cioè il punto 2, senza sapere a priori la formula della connessione metrica che lega i simboli di Christoffel alle derivate della metrica.

Per farlo forse si potrebbe pensare di sfruttare le proprietà del prodotto scalare???

[Shackle]

Certo, si può dimostrare che la derivata covariante del tensore metrico è nulla , senza passare attraverso la relazione tra i simboli di Christoffel e le componenti di $g_(ik)$.
Spero tu conosca il significato di "differenziale covariante " $DA^i$ di un vettore , che è un tensore. Altrimenti ti dico dove cercarlo.

Si può passare dal differenziale del tensore espresso in forma controvariante $DA^k$ a quello espresso in forma covariante $DA_i$ , mediante un semplice abbassamento di indice col tensore metrico :

$DA_i = g_(ik) DA^k $

d'altro canto, essendo : $A_i = g_(ik) A^k$ , e differenziando :

$DA_i = D(g_(ik) A^k) = g_(ik) DA^k + A^k D g_(ik) $

confrontando i due risultati , si vede che deve essere : $ D g_(ik) = 0 $

e quindi, per la derivata covariante : $ g_(ik) ; _l = 0 $

Anzi, da questo si può arrivare ai simboli di Christoffel facilmente. Scrivi la derivata covariante di $g_(ik)$ con la formula che sai: al 2º membro c’è la derivata parziale ordinaria più due termini contenenti ciascuno un simbolo di Chr. Questa derivata covariante deve essere nulla.Ripeti la scrittura permutando circolarmente i tre indici. Isola le derivate ordinarie dei $g_(ik) $ , poi sommane due e sottrai la terza. Alla fine viene fuori proprio un $Gamma$. I calcoli sono i seguenti :

[GiulyDel]

Ho capito la dimostrazione, tuttavia non mi è chiaro il punto di partenza. Mi spiego meglio!!
Per dire che:

$ DA_i=g_(ik)DA^k $

bisogna comunque partire dal presupposto che $ Dg_(ik)=0 $

[Shackle]

"GiulyDel":Ho capito la dimostrazione, tuttavia non mi è chiaro il punto di partenza. Mi spiego meglio!!
Per dire che:

$ DA_i=g_(ik)DA^k $

bisogna comunque partire dal presupposto che $ Dg_(ik)=0 $

No, quello è il punto di arrivo , non di partenza. Si deve partire dal concetto di differenziale covariante.
Ti ho chiesto se ti è chiaro il significato di differenziale covariante di un vettore , che è un tensore. Immagina che l'uguaglianza iniziale sia scritta cosí :

$ (DA)_i=g_(ik)(DA)^k $

e cioè, il pedice $i$ al primo membro va attribuito a tutto il differenziale $(DA)$, ed è in forma covariante , e cosí l'indice $k$ va attribuito a tutto il differenziale , che è in forma controvariante . E siccome una delle prerogative del tensore metrico e quello di abbassare (o innalzare) gli indici tensoriali , ecco che ho scritto il punto di partenza in quella forma.

Il differenziale covariante è legato alla derivata covariante come il differenziale ordinario è legato alla derivata ordinaria.

Un differenziale ordinario di un vettore ( supponi coordinate cartesiane ortogonali) è dato da :

$ dA^i = (delA^i)/(delx^l) dx^l$

invece, un differenziale covariante è legato alla derivata covariante da :

$DA^i = ( (delA^i)/(delx^l) + Gamma_(kl)^i A^k) dx^l = (delA^i)/(delx^l) dx^l + Gamma_(kl)^i A^k dx^l $

il termine aggiuntivo , dove compare il fattore $Gamma_(kl)^i$, che è un "fattore di connessione affine" per ora non precisato (ma i suoi tre indici hanno una ragione di essere ben precisa, te l'ho spiegato in un altro post) è dovuto alla variabilità delle basi vettoriali in spazi curvi , o anche in spazi piatti ma riferiti a coordinate curvilinee , per esempio lo spazio euclideo $E^3$ riferito a coordinate polari sferiche anzichè cartesiane ortogonali: anche in questo caso, se volessi derivare correttamente un vettore , dovresti farne la derivata covariante, non l'ordinaria, poiché i vettori base sono variabili con le coordinate.

Il differenziale in forma covariante è naturalmente :

$DA_i = ( (delA_i)/(delx^l) - Gamma_(il)^k A_k) dx^l$

Ti allego 4 paginette che spiegano in maniera molto chiara il motivo per cui occorre una derivata che sia diversa dalla derivata ordinaria dei vettori ( il concetto si estende ai tensori di altro ordine e tipo) , e introducono anche il differenziale covariante, in spazi curvi o anche piatti ma riferiti a coordinate curvilinee.
Dicono che il libro da cui ho preso queste spiegazioni sia difficile. Io trovo queste pagine molto chiare, sono le prime su cui ho studiato e capito questa questione . Si tratta del Landau-Lifsitz " Teoria dei campi " :