Config. di equilibrio con velocità angolare non costante?

[eziobav]

Ciao a tutti, ho un grosso problema da porvi, vengo subito al dunque:

data un'asta di lunghezza L e di estremi AB, incernierata per A in un punto fisso O su cui agisce una forza elastica -k(B-B') dove B' è la proiezione ortogonale sull'asse verticale fisso passante per O. Inoltre essa ruota attorno all'asse verticale con velocità angolare (non costante) $ omega $ = $ omega_0 * t^2 + omega_1 $. Determinare le configurazioni di equilibrio dell'asta.
Riporto di seguito la figura sopra descritta.

[mircoFN1]

Se ho capito bene il problema, immagino che la richiesta si riferisca alla determinazione della condizione di equilibrio 'quasi statica' ovvero a quella che si avrebbe istante per istante se la velocità angolare fosse fissa e pari al valore corrente (diversamente, ovvero in regime dinamico, il problema è retto da una equazione differenziale non lineare che dubito si integri analiticamente).
Anche così semplificato, il problema è però interessante se consideri la possibilità di avere più configurazioni di equilibrio (in particolare per alte velocità angolari)

[eziobav]

Esatto....... alla fine dovrei ottenere un'equazione che in statica non ha soluzioni perchè l'incognita è il tempo, mentre l'altra soluzione, quella dipendente dall'angolo, dovrebbe essere semplicemente $ costheta=0 $ e quindi $ theta = pi/2 $ e $ theta = 3/2 pi $ ma come dimostro questa mia intuizione? o meglio come verifico se la mia intuizione è corretta?

[mircoFN1]

Secondo me dovresti considerare la massa dell'asta, diversamente il problema mi sembra poco sensato dal punto di vista fisico. In tal caso la determinazione delle condizioni di equilbrio 'statico' è più interessante e la soluzione dipende dal tempo.

[eziobav]

e come faccio a determinare le condizioni di eiquilibrio statico????

[mircoFN1]

per esempio imponendo l'equilibrio al momento rispetto alla cerniera in basso nel sistema di riferimento non inerziale della barra. Devi tener conto di:
1) peso proprio
2) azioni centrifughe
3) forza della molla.

Ti verrà una equazione trigonometrica, nell'incognita inclinazione, con parametro il tempo (dato che la forza centrifuga...) che deve essere discussa perchè può dare più soluzioni: alcune di equilibrio stabile altre instabile...

[cyd1]

allora io farei cosi,
calcolerei l'equazione del moto:

>tramite l'equazione di laplace:( L =lunghezza asta, J = momento d'inerzia rispetto l'origine)
- l'energia cinetica è $T=1/2Jdot(theta)$ => $d/(dt)(dT)/(d theta) = J ddot(theta)$
- l'energia potenziale: $U=mgLsin(theta) + 1/2k(Lcos(theta))^2$ => $d/(d theta)U= +mgLcos(theta) - kL^2 sin(theta)cos(theta)$
quindi l'eq del moto è $Jddot(theta)=-mgLcos(theta) + kL^2sin(theta)cos(theta)$

>Oppure noti che la forza elastica è $F=kLcos(theta)$ e facendo i momento rispetto l'origine hai:
$M0=Jddot(theta) = kL^2cos(theta)sin(theta) - mgLcos(theta)$

in ogni caso, equilibrio <=> $theta=cost => ddot(theta)=0$ quindi risolvi l'eq del moto $0=F(theta eq,t)$e hai
$sin(theta eq) = (mg)/(kL)$