Conferma svolgimento esercizio campo magnetico
Ciao a tutti!
Volevo chiedervi se secondo voi è giusto lo svolgimento del seguente esercizio.
Testo:
In un conduttore cilindrico cavo fluisce una corrente [tex]i[/tex] di densità [tex]j[/tex] uniforme su tutta la sezione compresa fra le superfici cilindriche coassiali aventi raggi [tex]r_1[/tex] e [tex]r_2>r_1[/tex]. Dopo aver espresso [tex]j[/tex] in funzione degli altri parametri del problema, calcolare il campo magnetico [tex]B[/tex] nei punti interni a distanza [tex]r_1
Soluzione.
Esprimo [tex]j[/tex] in funzione degli altri parametri, quindi:
[tex]j=\frac{i}{A}=\frac{i}{ \pi (r_2^2-r_1^2)}[/tex]
Adesso calcolo il campo magnetico applicando la Legge di Ampere.
[tex]\int Bdl=\mu_0 i_c[/tex]
L'integrale di [tex]B[/tex] è la superficie che considero quindi [tex]B2 \pi r[/tex]
Devo ora calcolare la seconda parte dell'equazione, essendo [tex]i_c[/tex] una corrente concatenata avrò:
[tex]\mu_0 \int_{S} j dS[/tex]
La [tex]j[/tex] è costante perché ho già calcolato quanto vale, quindi posso portarla fuori dal segno dell'integrale. Mi rimane allora:
[tex]j \mu_0 \int_S dS= \mu_0 j \int_{r_1}^{r} 2 \pi r dr = 2 \pi \mu_0 j ( \frac{r^2}{2}-\frac{{r_1}^2}{2})[/tex]
Mettendo assieme tutta l'equazione e sostituendo a j il suo valore ottengo:
[tex]2 B \pi r = \frac {i \pi \mu_0 (r^2-r_1^2)}{r_2^2-r_1^2) \pi}[/tex]
E quindi l'equazione finale del campo:
[tex]B= \frac{\mu_0 i (r^2-r_1^2)}{2 \pi r(r_2^2-r_1^2)}[/tex]
Il risultato è corretto, però non so se il mio ragionamento fila o meno
Grazie
Buona serata
Ciaoo
Volevo chiedervi se secondo voi è giusto lo svolgimento del seguente esercizio.
Testo:
In un conduttore cilindrico cavo fluisce una corrente [tex]i[/tex] di densità [tex]j[/tex] uniforme su tutta la sezione compresa fra le superfici cilindriche coassiali aventi raggi [tex]r_1[/tex] e [tex]r_2>r_1[/tex]. Dopo aver espresso [tex]j[/tex] in funzione degli altri parametri del problema, calcolare il campo magnetico [tex]B[/tex] nei punti interni a distanza [tex]r_1
Soluzione.
Esprimo [tex]j[/tex] in funzione degli altri parametri, quindi:
[tex]j=\frac{i}{A}=\frac{i}{ \pi (r_2^2-r_1^2)}[/tex]
Adesso calcolo il campo magnetico applicando la Legge di Ampere.
[tex]\int Bdl=\mu_0 i_c[/tex]
L'integrale di [tex]B[/tex] è la superficie che considero quindi [tex]B2 \pi r[/tex]
Devo ora calcolare la seconda parte dell'equazione, essendo [tex]i_c[/tex] una corrente concatenata avrò:
[tex]\mu_0 \int_{S} j dS[/tex]
La [tex]j[/tex] è costante perché ho già calcolato quanto vale, quindi posso portarla fuori dal segno dell'integrale. Mi rimane allora:
[tex]j \mu_0 \int_S dS= \mu_0 j \int_{r_1}^{r} 2 \pi r dr = 2 \pi \mu_0 j ( \frac{r^2}{2}-\frac{{r_1}^2}{2})[/tex]
Mettendo assieme tutta l'equazione e sostituendo a j il suo valore ottengo:
[tex]2 B \pi r = \frac {i \pi \mu_0 (r^2-r_1^2)}{r_2^2-r_1^2) \pi}[/tex]
E quindi l'equazione finale del campo:
[tex]B= \frac{\mu_0 i (r^2-r_1^2)}{2 \pi r(r_2^2-r_1^2)}[/tex]
Il risultato è corretto, però non so se il mio ragionamento fila o meno
Grazie
Buona serata
Ciaoo
Risposte
Per essere giusto è giusto ma forse un po' macchinoso, io direi che ricordando la legge di Ampere e vista la simmetria assiale, il campo magnetico H poteva essere ricavato direttamente dal rapporto fra la corrente concatenata alla generica circonferenza di raggio r e la lunghezza della stessa
$H= \frac{i(r)}{2\pi r}=\frac{j (\pi r^2-\pi r_1^2)}{2\pi r} =\frac{i }{2\pi r}\frac{(r^2-r_1^2)}{(r_2^2-r_1^2)}$
senza integrale ferire.
$H= \frac{i(r)}{2\pi r}=\frac{j (\pi r^2-\pi r_1^2)}{2\pi r} =\frac{i }{2\pi r}\frac{(r^2-r_1^2)}{(r_2^2-r_1^2)}$
senza integrale ferire.
Ciao!
Grazie della risposta, ma non ho capito bene che passaggio hai fatto!
Come mai la corrente può essere trovata dal rapporto tra la corrente lunga la circonferenza e la lunghezza della circonferenza?
Grazie mille
Ciaoo
Grazie della risposta, ma non ho capito bene che passaggio hai fatto!
Come mai la corrente può essere trovata dal rapporto tra la corrente lunga la circonferenza e la lunghezza della circonferenza?
Grazie mille
Ciaoo
"floppyes":
... Come mai la corrente può essere trovata dal rapporto tra la corrente lunga la circonferenza ...
Non la corrente "lunga" la circonferenza, ma la corrente concatenata con la circonferenza; null'altro che l'applicazione della legge di Ampere in forma "idraulica", ovvero semplificata grazie alla simmetria, che porta a linee di forza circolari con centro sull'asse del sistema e ad un campo magnetico H costante e tangente alla linea stessa; ne segue che la circuitazione di $H$ lungo una generica circonferenza di raggio $r$ si può scrivere semplicemente come
$\oint_{L}\vec{H}\cdot \text(d) \vec{l}=HL=2\pi rH=I_{conc}$
Ciao!
Perfetto grazie mille ora mi torna tutto
Grazie
Ciao
Perfetto grazie mille ora mi torna tutto
Grazie
Ciao
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