Conferma su un integrale (teorema dell'impulso)
Stavo studiando il teorema dell'impulso. Sul mio libro c'è scritto che:
J(l'impulso)=$ int_(t0)^(t) Fdt= int_(p0)^(p) dp $, con p che è la quantità di moto.
Il punto è: come si è passati da un integrale all'altro (proprio dal punto di vista matematico)?
Io avevo pensato che semplicemente il primo integrale ($ int_(t0)^(t) Fdt$) fosse stato risolto per sostituzione, ponendo $ dp=Fdt $. Tuttavia vanno cambiati anche gli estremi di integrazione, quindi in "$ Fdt $" sostituisco "$dt$" con "$ t0 $" e con "$ t $" ottenendo rispettivamente "$ Ft0 $" e "$ Ft $". Solo che $ t0 $ e $ t $ sono istanti, ovvero intervalli di tempo piccolissimi. Di conseguenza avremmo la forza moltiplicata per intervalli infinitesimi, che sono uguali a $ dp $. Quindi avremmo per l'appunto $ int_(p0)^(p) dp $ (perchè $ Ft0=dp $ nell'istante $ t0 $ che corrisponde alla quantità di moto nell'istante $ t0 $)
Sbaglio?
Ps: Sì, probabilmente sono l'unico che perde giornate per queste sinecure, ma detesto semplicemente ricordarmi l'uguaglianza senza capire come abbiano fatto i fisici/matematici ad arrivarci.
J(l'impulso)=$ int_(t0)^(t) Fdt= int_(p0)^(p) dp $, con p che è la quantità di moto.
Il punto è: come si è passati da un integrale all'altro (proprio dal punto di vista matematico)?
Io avevo pensato che semplicemente il primo integrale ($ int_(t0)^(t) Fdt$) fosse stato risolto per sostituzione, ponendo $ dp=Fdt $. Tuttavia vanno cambiati anche gli estremi di integrazione, quindi in "$ Fdt $" sostituisco "$dt$" con "$ t0 $" e con "$ t $" ottenendo rispettivamente "$ Ft0 $" e "$ Ft $". Solo che $ t0 $ e $ t $ sono istanti, ovvero intervalli di tempo piccolissimi. Di conseguenza avremmo la forza moltiplicata per intervalli infinitesimi, che sono uguali a $ dp $. Quindi avremmo per l'appunto $ int_(p0)^(p) dp $ (perchè $ Ft0=dp $ nell'istante $ t0 $ che corrisponde alla quantità di moto nell'istante $ t0 $)
Sbaglio?
Ps: Sì, probabilmente sono l'unico che perde giornate per queste sinecure, ma detesto semplicemente ricordarmi l'uguaglianza senza capire come abbiano fatto i fisici/matematici ad arrivarci.
Risposte
Benvenuto in questo forum.
Fu Planck a scrivere la seconda equazione della dinamica per un punto materiale nella forma :
$ vecF = (dvecp)/(dt) $
la quale, quando la massa è costante , diventa : $vecF = m\dot\vecv = mveca$ . Se supponi costante la forza per un intervallo di tempo finito $Deltat$ puoi scrivere :
$vecF Deltat = vecDeltap$
Qui trovi spiegazioni più dettagliate.
Fu Planck a scrivere la seconda equazione della dinamica per un punto materiale nella forma :
$ vecF = (dvecp)/(dt) $
la quale, quando la massa è costante , diventa : $vecF = m\dot\vecv = mveca$ . Se supponi costante la forza per un intervallo di tempo finito $Deltat$ puoi scrivere :
$vecF Deltat = vecDeltap$
Qui trovi spiegazioni più dettagliate.
"Nintendodark02":
... Solo che $ t0 $ e $ t $ sono istanti, ovvero intervalli di tempo piccolissimi. Di conseguenza avremmo la forza moltiplicata per intervalli infinitesimi, ...
Non sono i due istanti $t_0$ e $t$ a essere infinitesimi, lo è solo (al limite) l'intervallo di tempo $\Delta t=t-t_0$, ovvero la loro differenza, ad esserlo.
"RenzoDF":
[quote="Nintendodark02"]... Solo che $ t0 $ e $ t $ sono istanti, ovvero intervalli di tempo piccolissimi. Di conseguenza avremmo la forza moltiplicata per intervalli infinitesimi, ...
Non sono i due istanti $t_0$ e $t$ a essere infinitesimi, lo è solo (al limite) l'intervallo di tempo $\Delta t=t-t_0$, ovvero la loro differenza, ad esserlo.[/quote]
E quindi come si risolverebbe l'integrale?
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