Conferma su alcuni brevi quesiti di fisica (meccanica)
Sapete dirmi se ho ragionato correttamente nei seguenti quesiti?
PRIMO
Io ho pensato C) in quanto:
$ma = \gamma*m*M/(r^2)$
$M = \rhoV = \rho*3/4*R^3$
Per cui $ma = \gammam4/3\piR$
Ma nel centro della Terra è $R=0$ per cui forza e accelerazione si annullano. La derivata della velocità è nulla quindi la velocità è massima ("ha subito tutta l'accelerazione possibile").
SECONDO
Io direi:
$F-F_c=ma_m$ (dove $F_c$ è la forza di contatto dei due corpi)
$F_c=5ma_M$ (è $-F_c$ che causa l'accelerazione del corpo M)
E' chiaro che è $a_m=a_M=a$, cioè i due corpi si muovono con la stessa accelerazione.
Per cui $F=6ma$ (come anche si ottiene dal teorema del moto del centro di massa)
Quindi la risposta è la C)
TERZO
(Caso senza attrito) Se calcolo il momento delle forze esterne rispetto al centro (di massa) del cilindro ottengo $M_e = 0$ quindi, dall'eq. cardinale $\dot\vecK = -\vecv_O^^\vecQ + \vecM_e$, noto che il momento angolare si conserva. Se non c'era rotazione prima, non c'è anche dopo.
Da qui deduco che se manca l'attrito, non può esserci rotazione.
E' un ragionamento corretto?
Noto però che se applico quanto sopra al punto di contatto del cilindro con il piano (che trasla con la stessa velocità del centro di massa), noto che il momento delle forze esterne non è più 0, ma è $M_e = R*T$ (dove T è la forza di traino)
Quindi, secondo questo ragionamento, il momento angolare non si dovrebbe più conservare.
Non capisco le falle dei miei ragionamenti ma arrivo a risultati che si contraddicono...
QUARTO
Il teorema di Gauss per i campi gravitazionali dice che il flusso totale uscente dipende solamente dalla massa interna.
In formule: $\phi_S = -4\piGM_i$
Ma nel caso della sfera cava la massa interna $M_i=0$, quindi il flusso totale è nullo, così come il campo gravitazionale.
Giusto??
Grazie!
PRIMO
Io ho pensato C) in quanto:
$ma = \gamma*m*M/(r^2)$
$M = \rhoV = \rho*3/4*R^3$
Per cui $ma = \gammam4/3\piR$
Ma nel centro della Terra è $R=0$ per cui forza e accelerazione si annullano. La derivata della velocità è nulla quindi la velocità è massima ("ha subito tutta l'accelerazione possibile").
SECONDO
Io direi:
$F-F_c=ma_m$ (dove $F_c$ è la forza di contatto dei due corpi)
$F_c=5ma_M$ (è $-F_c$ che causa l'accelerazione del corpo M)
E' chiaro che è $a_m=a_M=a$, cioè i due corpi si muovono con la stessa accelerazione.
Per cui $F=6ma$ (come anche si ottiene dal teorema del moto del centro di massa)
Quindi la risposta è la C)
TERZO
Per mettere in rotazione un cilindro trainandolo con una fune è sempre necessario che il cilindro sia a contatto con una superficie che eserciti una forza d'attrito
(Caso senza attrito) Se calcolo il momento delle forze esterne rispetto al centro (di massa) del cilindro ottengo $M_e = 0$ quindi, dall'eq. cardinale $\dot\vecK = -\vecv_O^^\vecQ + \vecM_e$, noto che il momento angolare si conserva. Se non c'era rotazione prima, non c'è anche dopo.
Da qui deduco che se manca l'attrito, non può esserci rotazione.
E' un ragionamento corretto?
Noto però che se applico quanto sopra al punto di contatto del cilindro con il piano (che trasla con la stessa velocità del centro di massa), noto che il momento delle forze esterne non è più 0, ma è $M_e = R*T$ (dove T è la forza di traino)
Quindi, secondo questo ragionamento, il momento angolare non si dovrebbe più conservare.
Non capisco le falle dei miei ragionamenti ma arrivo a risultati che si contraddicono...
QUARTO
Quanto vale il campo gravitazionale di una sfera CAVA di massa M?
Il teorema di Gauss per i campi gravitazionali dice che il flusso totale uscente dipende solamente dalla massa interna.
In formule: $\phi_S = -4\piGM_i$
Ma nel caso della sfera cava la massa interna $M_i=0$, quindi il flusso totale è nullo, così come il campo gravitazionale.
Giusto??
Grazie!
Risposte
Non credo che secondo il regolamento sia giusto postare più esercizi in uno stesso messaggio.
Comunque mi pare tutto corretto quello che hai scritto.
Per la seconda parte del punto $C$ non capisco quale sia il dubbio. Se calcoli il momento rispetto al punto di contatto allora ottieni per l'equazione dei momenti:
$R T = m \frac{d (v R)}{dt}$
che non è altro che l'equazione di Newton, da cui non si deduce alcuna rotazione, ma solo l'accelerazione del centro di massa del cilindro.
Comunque mi pare tutto corretto quello che hai scritto.
Per la seconda parte del punto $C$ non capisco quale sia il dubbio. Se calcoli il momento rispetto al punto di contatto allora ottieni per l'equazione dei momenti:
$R T = m \frac{d (v R)}{dt}$
che non è altro che l'equazione di Newton, da cui non si deduce alcuna rotazione, ma solo l'accelerazione del centro di massa del cilindro.
Ah ok, era per risparmiare "spazio" 
Non ho capito cosa compare al secondo membro.
Io avevo pensato a $RT = I_c*\alpha$
o anche a $\vec\ddotK = \vecM_e != 0$ (dove $\vecK$ è il momento angolare)
da cui si deduceva che in realtà il momento angolare non si conserva.
"Faussone":
Per la seconda parte del punto $C$ non capisco quale sia il dubbio. Se calcoli il momento rispetto al punto di contatto allora ottieni per l'equazione dei momenti:
$R T = m \frac{d (v R)}{dt}$
che non è altro che l'equazione di Newton, da cui non si deduce alcuna rotazione, ma solo l'accelerazione del centro di massa del cilindro.
Non ho capito cosa compare al secondo membro.
Io avevo pensato a $RT = I_c*\alpha$
o anche a $\vec\ddotK = \vecM_e != 0$ (dove $\vecK$ è il momento angolare)
da cui si deduceva che in realtà il momento angolare non si conserva.
"kniv7s":
Non ho capito cosa compare al secondo membro.
La derivata del momento angolare rispetto al tempo.
EDIT (chiarisco meglio).
Il contributo di rotazione alla derivata del momento angolare non c'è proprio perché se scrivi l'equazione di Newton ti accorgi che quel termine dovrà essere nullo.
"Faussone":
Il contributo di rotazione alla derivata del momento angolare non c'è proprio perché se scrivi l'equazione di Newton ti accorgi che quel termine dovrà essere nullo.
Perché? $T = m*a$ come fa ad essere nullo?
Provo a essere più esplicito.
Nel caso voglia considerare l'equazione del momento angolare rispetto al punto di contatto, scrivo prima l'equazione della quantità di moto per il centro di massa:
$T=ma$
Scrivo poi l'equazione generica del momento angolare rispetto al punto di contatto:
$R*T = m \frac{d(v R)}{dt} + I *dot omega \equiv R ma + I *dot omega \equiv R*T + I dot omega$
$-> I * dot omega =0 -> dot omega=0$
Nel caso voglia considerare l'equazione del momento angolare rispetto al punto di contatto, scrivo prima l'equazione della quantità di moto per il centro di massa:
$T=ma$
Scrivo poi l'equazione generica del momento angolare rispetto al punto di contatto:
$R*T = m \frac{d(v R)}{dt} + I *dot omega \equiv R ma + I *dot omega \equiv R*T + I dot omega$
$-> I * dot omega =0 -> dot omega=0$
C'è qualcosa che mi sfugge.
Non riesco a capire l'equazione $R*T = m (d(vR))/dt + I\dot\omega$
A me risultano le seguenti equazioni:
>> Momento delle forze esterne rispetto al punto di contatto
$ M_E = R*T = I\dot\omega$
(applicabile se scelto come polo di riduzione un punto fermo solidale al corpo e se la velocità angolare ha direzione costante)
Qui forse non è applicabile, dato che non ci è dato supporre alcune velocità angolare.
>> Eq. cardinale della dinamica $\vec\dotK = -\vecv_O^^m\vecv + \vecM_E$ (con punto O arbitrario)
Valida in generale.
>> Def. di momento angolare, che nel nostro caso è con (G=centro di massa e C=punto di contatto)
$\vecK = (G-C)^^m\vecv_G$
Se derivo dovrei ottenere: $\vec\dotK = \vecv_G^^m\vecv_G + (G-C)^^m\veca_G = (G-C)^^m\veca_G$
Con modulo $\dotK = Rma_G$
Sto sbagliando?
Non riesco a capire l'equazione $R*T = m (d(vR))/dt + I\dot\omega$
A me risultano le seguenti equazioni:
>> Momento delle forze esterne rispetto al punto di contatto
$ M_E = R*T = I\dot\omega$
(applicabile se scelto come polo di riduzione un punto fermo solidale al corpo e se la velocità angolare ha direzione costante)
Qui forse non è applicabile, dato che non ci è dato supporre alcune velocità angolare.
>> Eq. cardinale della dinamica $\vec\dotK = -\vecv_O^^m\vecv + \vecM_E$ (con punto O arbitrario)
Valida in generale.
>> Def. di momento angolare, che nel nostro caso è con (G=centro di massa e C=punto di contatto)
$\vecK = (G-C)^^m\vecv_G$
Se derivo dovrei ottenere: $\vec\dotK = \vecv_G^^m\vecv_G + (G-C)^^m\veca_G = (G-C)^^m\veca_G$
Con modulo $\dotK = Rma_G$
Sto sbagliando?
"kniv7s":
C'è qualcosa che mi sfugge.
Mi sa di sì...
"kniv7s":
$\vecK = (G-C)^^m\vecv_G$
[...]
Sto sbagliando?
Mi pare che manchi un pezzo nel momento angolare.
Il momento angolare nel punto di contatto si può scrivere mediante il primo teorema di Konig.
Quindi uguale al momento angolare immaginando tutta la massa concentrata nel centro di massa e aggiungendo il momento relativo al centro di massa per cui (c'è solo una componente diretta come l'asse del cilindro quindi scrivo solo quella):
$K=mR v_G + I omega$
con ($I$ momento di inerzia rispetto all'asse del cilindro) che derivata dà
$dot K= m r a_G + I dot omega$, e da qui considerando l'equazione della quantità di moto si ottiene che deve essere $dot omega=0$ (vedi precedente messaggio).
Ah, capito! Io avevo usato le definizioni per un punto materiale. In effetti è un errore grossolano. Il fatto è che non ci è stato introdotto il teorema di Konig per il momento angolarenel corso (né è citato nel nostro testo di riferimento).
Quindi la conclusione finale è che, essendo $\dot\omega = 0$, la velocità angolare è costante, e quindi, essendo nulla la velocità angolare (proprio per ipotesi), non viene instaurato il moto rotatorio?
Quindi la conclusione finale è che, essendo $\dot\omega = 0$, la velocità angolare è costante, e quindi, essendo nulla la velocità angolare (proprio per ipotesi), non viene instaurato il moto rotatorio?
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