Conferma quesito con vagone e oscillazione pendolo

[feddy]

Testo:
Un corpo puntiforme di massa m = 0.5 kg è ancorato al punto O del soffitto di un vagone ferroviario, tramite una filo ideale, di massa trascurabile e di lunghezza $L = 1.2 m$ (vedi figura).
Inizialmente il corpo si trova in condizione di quiete rispetto al treno, che viaggia a velocità costante di modulo $v = 30 m/s$ su un piano orizzontale. All’istante t = 0 il treno frena con decelerazione costante $a_0 = 1 m/s^2$ fino ad arrestarsi.
Nell’ipotesi che l’attrito con l’aria sia trascurabile, determinare nel sistema di riferimento solidale
al treno:

a) il diagramma delle forze agenti, la posizione di equilibrio del corpo puntiforme e il valore della tensione
della fune durante la fase di moto uniforme del treno;
b) il diagramma di tutte le forze agenti, reali e apparenti, agenti sul corpo all’istante t = 0+;
c) l’equazione del moto del corpo puntiforme durante la fase di moto decelerato del treno;
d) la posizione di equilibrio del corpo durante questa fase di moto del treno;
e) la legge oraria del moto oscillatorio del corpo puntiforme durante la stessa fase;
f) la frequenza di oscillazione del corpo;
g) la tensione massima della fune durante il moto oscillatorio del corpo.

Suggerimento: Per indicare la posizione di equilibrio si usi l’ampiezza dell'angolo θ formato dalla fune con
la verticale passante per O, e si assuma valida ovunque l’approssimazione delle piccole oscillazioni (cioè
sinθ = θ e cosθ = 1).



SOL.:


a)
$ sumvecF_i=0 $
da cui ricavo $T=mg=4.9N$

La massa forma l'angolo nullo con la verticale

b)
$ veca=veca'+veca_0 $ , da cui $ mveca'=sumvecF_i -mveca_o $ , dove $sumvecF_i = vecP+vecT $.

dove $vecF_t=-mveca_o$
c), d), e)

Considero le componenti tangenziali e radiale:

$ ma_n= T - F_tsentheta - mgcostheta $
$ ma_t= -mgsentheta - F_tcostheta $

sapendo che l'accelerazione angolare $alpha=(a_t)/L$ abbiamo che $a_t=Lddottheta(t)$

dalla componente tangenziale e conoscendo l'espressione di $a_t$:

$mLddottheta(t)=-mgsen(theta(t)) + ma_ocos(theta(t))$

semplificando le masse e utilizzando l'approssimazione per le piccole oscillazioni e ponendo $w^2=g/L$

$ddottheta(t) + w^2theta(t) = a/L$

La soluzione generale è data dalla combinazione lineare dell'omogenea associata più una soluzione particolare.
Quella particolare mi da la soluzione di equilibrio.
$ theta_(eq)=a/g $

la sol. dell'omogenea associata è quella nota $Asen(wt+phi)$

Dalle condizioni iniziali: $ theta(0)=0 $ , $ dottheta(0)=0 $ ricavo $A=a/g$ e $phi=3/2pi$

la soluzione generale è: $ theta(t)= a/g*(1-cos(wt)) $


f)
$ tau =2pi*sqrt(L/g) $ , da cui la frequenza $ f=1/T.$

g)
dalla componente centripeta ricavo la tensione $T$.
$ T=ma_n+F_tsentheta+mgcostheta $

$ T=ma_n -ma_osentheta+mgcostheta $

per le espressioni trovate prima:
$ T=m[(v(t)^2)/L -a_osen(theta(t))+gcostheta(t)] $


$v(t)$ si può trovare ricordando la relazione $s=l*theta$ e derivando, quindi $v=(ds)/dt = L(d(theta))/dt$