Conduzione parete

[sonoqui_1]

Ho un problema con questo esercizio, non so se ho fatto giusto.
Si tratta di una parete di un certo spessore e indefinita (problema monodimensionale), sulle cui facce si trovano da una parte una temperatura in funzione del tempo espresso come $T_e=T_(em)+DeltaT_e*sin(omega*t+phi_e)$, mentre dall'altra questa scambia caolre con un fluido, con coefficienti di scambio $h_s$ dato, che ha un andamento di temperatura nel tempo $T_a=T_(am)+DeltaT_a*sin(omega*t+phi_a)$. Si deve ricavare la soluzione stazionaria delle temperatura all'interno della parete in funzione del tempo, del tipo $T(x,t)=T_m(x)+DeltaT(x)*sin(omega*t-beta*x)$, dove $x$ è la distanza dalla faccia a temperatura $Te$.
Sostituendo nell'equazione di Fourier
$(partial T)/(partialt)-alpha^2(partial^2T)/(partialx^2)=0$
e considerando che l'equazione ottenuta deve valere per ogni istante di tempo $t$ e per ogni valore di $x$, si ottengono tre equazioni, secondo cui $T_m(x)$ ha un andamento lineare, $DeltaT(x)=DeltaT_e*e^(-beta*t)$
e $beta=+-sqrt(omega/(2*alpha^2))$
Cioè si ottengono due soluzioni diverse.
Essendo il problema lineare, mi chiedo se si può scomporre $T_e$ in una somma di due funzioni e utilizzare i due valori differenti di $beta$
$T_e=C_1*T_(e1)+C_2*T_(e2)$
Ricavando
$T(x,t)=C_1*(T_(m1)(x)+DeltaT_1(x)*sin(omega*t-beta_1*x)+C_2*(T_(m2)(x)+DeltaT_2(x)*sin(omega*t-beta_2*x)$
e utilizzando anche l'altra equazione, quella del bilancio nello scambio di calore con il fluido a temperatura $T_a$ per ricavare la soluzione.

[Faussone]

Da quello che ho capito, la soluzione che hai trovato mi pare corretta, poi se imponi che gli scambi di calore alle due superfici delle pareti siano pari ai flussi convettivi non dovresti risolvere l'ambiguità?

[sonoqui_1]

Ho utilizzato l'equazione dell'uguaglianza tra flusso termico nella parete sulla faccia esposta al fluido e scambio termico per convenzione con il fluido, come proposto
$(T(L,t)-Ta)h_s=-lambda(partialT)/(partialx)(L,t)$ ($L$ è lo spessore della parete)
in cui ho sostituito questa espressione di $T(x,t)$
$T(x,t)=T_m(x)+C_1*DeltaT_1(x)*sin(omegat-beta_1x)+C_2*DeltaT_2(x)sin(omegat-beta_2x)$
Che vale per ogni istante $t$
Quindi riesco a ricavare $C_1$ e $C_2$

[ELWOOD1]

Scusate l'OT, volevo chiedere a sonoqui_ se per caso sa dove posso trovare delle dispense riguardo alla conduzione in regime variabile.
sul Cavallini non mi pare molto completo

Grazie

[Faussone]

"sonoqui_":Ho utilizzato l'equazione dell'uguaglianza tra flusso termico nella parete sulla faccia esposta al fluido e scambio termico per convenzione con il fluido, come proposto
$(T(L,t)-Ta)h_s=-lambda(partialT)/(partialx)(L,t)$ ($L$ è lo spessore della parete)
in cui ho sostituito questa espressione di $T(x,t)$
$T(x,t)=T_m(x)+C_1*DeltaT_1(x)*sin(omegat-beta_1x)+C_2*DeltaT_2(x)sin(omegat-beta_2x)$
Che vale per ogni istante $t$
Quindi riesco a ricavare $C_1$ e $C_2$

Ah ok. Prima non avevo capito cosa volevi dire nella seconda parte del messaggio.
Quindi si hanno due onde sovrapposte una amplificata con $x$ e una smorzata che viaggiano lungo la parete e che si sovrappongono all'andamento lineare, però a causa della funzione lineare $T_m(x)$ incognita, non bastano quelle due condizioni al contorno, visto che la funzione lineare presenta altre due costanti da calcolare (termine noto e pendenza).
Forse andrebbero considerate le condizioni iniziali anche se capisco che è richiesta la soluzione dopo il transitorio...
Intuitivamente allo stazionario l'andamento lineare, che non è funzione del tempo, lo considererei come, temperatura con andamento lineare appunto che collega la temperatura media della parete da una parte con la temperatura media del fluido dall'altra.
Insomma alla fine non so aiutarti molto.
...in un caso pratico reale di fronte a un problema simile punterei ad un approccio numerico.

[sonoqui_1]

Mi sono accorto che c'è un errore. Deve essere anche $C_1+C_2=1$, visto che $T(0,t)=T_e(t)$. Mi ero perso quest'altra condizione che va mantenuta nella sovrapposizione.
Quindi non riesco a ricavare $C_1$ e $C_2$ che mi soddisfino tutte le condizioni, se non per particolari valori di $DeltaT_e$.
Da questo ne posso dedurre che la soluzione a regime non è sempre di quella forma che ho scritto?

@elwood: non saprei consigliarti, questo è un esempio che ho ripreso da un testo di fisica tecnica che ho, anche se non viene risolto così. Praticamente considera solo una valore di $beta$ (quello negativo, non so il motivo) nel ricavare la soluzione e non vengono poste altre condizioni se non quella sull'andamento sinusoidale della temperatura su una faccia della parete, quella eccitata mediante una resistenza. Se si fa un cambio di sistema di riferimento ci si rende conto che la soluzione così dipende dal sistema di riferimento scelto.