Conduttori e superfici equipotenziali
Salve, avrei alcune domande da fare sui conduttori e sulle superfici equipotenziali.
Abbiamo dimostrato che in condizioni di equilibrio elettrostatico deve essere $vecE = 0$ nei punti interni del conduttore.
Di conseguenza, siccome $vecE = -\nablaV$ deve essere $V$ costante all'interno del conduttore.
Tuttavia $vecE ≠ 0$ sulla superficie del conduttore e dunque perchè anche sulla superficie del conduttore $V$ è costante?.
Inoltre non mi è chiaro perchè $vecE$ deve essere perpendicolare alle superficie equipotenziali.
Ho letto qualcosa al riguardo dove si citava il fatto che il lavoro deve essere nullo, ma in termini matematici non possiamo dedurlo dalle relazioni che legano $vecE$ e $V$?
Abbiamo dimostrato che in condizioni di equilibrio elettrostatico deve essere $vecE = 0$ nei punti interni del conduttore.
Di conseguenza, siccome $vecE = -\nablaV$ deve essere $V$ costante all'interno del conduttore.
Tuttavia $vecE ≠ 0$ sulla superficie del conduttore e dunque perchè anche sulla superficie del conduttore $V$ è costante?.
Inoltre non mi è chiaro perchè $vecE$ deve essere perpendicolare alle superficie equipotenziali.
Ho letto qualcosa al riguardo dove si citava il fatto che il lavoro deve essere nullo, ma in termini matematici non possiamo dedurlo dalle relazioni che legano $vecE$ e $V$?
Risposte
Per la prima parte della domanda, non mi è ben chiaro che intendi. Se il potenziale sulla superficie è costante, allora non vi può essere alcun campo elettrico.
Per quanto riguarda la seconda, ciò è dovuto al fatto che il campo elettrico è il gradiente del potenziale e il gradiente è la direzione di massimo aumento della funzione potenziale. Qualsiasi direzione che ha una componente sul gradiente (prodotto scalare col gradiente) determina un cambiamento di potenziale, quindi risulta che solo la direzione perpendicolare non determina un cambiamento della funzione e quindi tale direzione è quella della curva di livello.
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Per quanto riguarda la seconda, ciò è dovuto al fatto che il campo elettrico è il gradiente del potenziale e il gradiente è la direzione di massimo aumento della funzione potenziale. Qualsiasi direzione che ha una componente sul gradiente (prodotto scalare col gradiente) determina un cambiamento di potenziale, quindi risulta che solo la direzione perpendicolare non determina un cambiamento della funzione e quindi tale direzione è quella della curva di livello.
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"WeP":
Tuttavia $vecE ≠ 0$ sulla superficie del conduttore e dunque perchè anche sulla superficie del conduttore $V$ è costante?.
Poiché il potenziale è costante sulla superficie il campo deve essere perpendicolare alla superficie: questo si vede bene calcolando la derivata direzionale per potenziale
[tex]\frac{\partial\phi}{\partial v} = \vec{v} \cdot \nabla\phi[/tex]
Quando la direzione $\vec v$ è una qualsiasi direzione tangente alla superficie, poiché sulla superficie il potenziale è costante, la derivata direzionale è nulla. Questo implica che la componente del gradiente tangente alla superficie si annulla. Per la componente perpendicolare invece il discorso è diverso, perché al di fuori del conduttore il potenziale non ha lo stesso valore, quindi la componente normale del gradiente non si annulla come quella tangenziale. Questo spiega anche il perché il gradiente sia normale alle superfici equipotenziali.
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