Conduttore sferico rivestito di un guscio di dielettrico con applicata una differenza di potenziale
Ciao!
Sto cercando di risolvere questo problema da più giorni ma senza esito positivo, quindi vi chiedo come lo risolvereste e perchè in un modo piuttosto che un altro.
C'è un conduttore sferico di raggio R1 e carica Q. Esso è circondato da un guscio sferico di dielettrico di raggio interno R1 e esterno R2. La costante dielettrica relativa del materiale è $\epsilon (r) = a*r^(\alpha)$. Una differenza di potenziale pari a V è applicata tra la superficie sferica di raggio R2 e la sfera conduttrice all'interno (di raggio R1). La richiesta è di determinare il campo elettrico nei punti interni al dielettrico per $\alpha$ generico. Per $\alpha = -1$ calcolare le densità superficiali e volumetriche di carica di polarizzazione.
Dati:
V = 1000 V; a = 4 cm; R1 = 2 cm; R2 = 3 cm.
Io ho pensato di applicare il teorema di Gauss per i dielettrici ponendo
$\int \int D \cdot dA = Q$
con Q la carica libera all'interno della superficie di cui si calcola il flusso. Ottengo che
$D*4 \pi r^(2) = Q$
$D = \epsilon_{0} E + P$
Così però non riesco a trovare nulla di utile secondo me, in quanto la polarizzazione P varia e anche $\epsilon (r)$ varia con il raggio. Poi bisogna tenere conto della ddp di V, ma non so proprio come usarla per risolvere il problema.
Ringrazio chiunque per l'aiuto
Sto cercando di risolvere questo problema da più giorni ma senza esito positivo, quindi vi chiedo come lo risolvereste e perchè in un modo piuttosto che un altro.
C'è un conduttore sferico di raggio R1 e carica Q. Esso è circondato da un guscio sferico di dielettrico di raggio interno R1 e esterno R2. La costante dielettrica relativa del materiale è $\epsilon (r) = a*r^(\alpha)$. Una differenza di potenziale pari a V è applicata tra la superficie sferica di raggio R2 e la sfera conduttrice all'interno (di raggio R1). La richiesta è di determinare il campo elettrico nei punti interni al dielettrico per $\alpha$ generico. Per $\alpha = -1$ calcolare le densità superficiali e volumetriche di carica di polarizzazione.
Dati:
V = 1000 V; a = 4 cm; R1 = 2 cm; R2 = 3 cm.
Io ho pensato di applicare il teorema di Gauss per i dielettrici ponendo
$\int \int D \cdot dA = Q$
con Q la carica libera all'interno della superficie di cui si calcola il flusso. Ottengo che
$D*4 \pi r^(2) = Q$
$D = \epsilon_{0} E + P$
Così però non riesco a trovare nulla di utile secondo me, in quanto la polarizzazione P varia e anche $\epsilon (r)$ varia con il raggio. Poi bisogna tenere conto della ddp di V, ma non so proprio come usarla per risolvere il problema.
Ringrazio chiunque per l'aiuto
Risposte
Comincia a scrivere l'equazione differenziale per il vettore spostamento elettrico, trasformandola in una per il campo elettrico e scrivendo quindi questo come gradiente di un potenziale (poiché il suo rotore è nullo, è tutto statico).
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