Conduttore sferico all'interno di un guscio sferico conduttore

[anotherkev]

Ciao, mi potreste aiutare nella risoluzione di questo problema:

Un conduttore sferico A di centro O e raggio R1 = 20 cm, su cui è distribuita una carica Qa, si trova
all'interno di un guscio sferico conduttore B ad esso concentrico, avente raggio interno R2 = 30 cm,
raggio esterno R3 = 40 cm e carica totale Qb = 10 x 10^(-6) C. Fra i due conduttori
si ha una differenza di potenziale ΔV = Vb - Va = 100 kV. Determinare: i) la carica Q e le densità di
carica sulle superfici dei due conduttori; ii) la differenza di potenziale tra un punto a distanza d = 35
cm dal centro O e un punto all'infinito.

Per quanto riguarda il calcolo di Qa io ho sfruttato il fatto che
$ ΔV= Q_a/(4pi \varepsilon _0 )(1/R_2 -1/R_1) => Q_a = ΔV 4\pi \varepsilon _0 ((R_2-R_1)/(R_2 R_1)) $

Mi sapreste aiutare per il resto?

[Quinzio]

Hai calcolato $Q_a$ pero' c'e' un errore di segno, qui sotto e' corretta:
$ ΔV= Q_a/(4pi \varepsilon _0 )(1/R_2 -1/R_1) => Q_a = ΔV 4\pi \varepsilon _0 ((R_1-R_2)/(R_2 R_1)) $

quindi sulla superficie $R_1$ c'e' la carica $Q(R_1) = Q_a$,
sulla superficie $R_2$ c'e' la carica $Q(R_2) = -Q_a$,
e siccome la carica totale nel guscio esterno deve essere $Q_b$ quindi $Q(R_2)+Q(R_3) = Q_b$
su $R_3$ c'e' la carica $Q(R_3) = Q_b - (-Q_a) = Q_a+Q_b$.

Per trovare la densita' di carica su ogni superficie dividi per l'area della superficie, es. $\rho(R_3) = (Q_a+Q_b)/(4\pi R_3^2)$

Per il punto ii) usi l'integrale per il potenziale
$ V(d) = -\int_\infty^d \bb E(r)\cdot dr = -(\int_\infty^{R_3} \bb E(r)\cdot dr+\int_{R_3}^d \bb E(r)\cdot dr)$

Da $d$ a $R_3$ il campo elettrico e' zero perche' sei all'interno di un conduttore, quindi

$ V(d) = -\int_\infty^{R_3} \bb E(r)\cdot dr = -Q_b/ {4 \pi \epsilon_0}\int_\infty^{R_3} 1/r^2 dr = Q_b/ {4 \pi \epsilon_0 R_3}$
dove il potenziale all'infinito e' zero.