Conduttore in un condensatore a lastre parallele

[lars1]

Salve,
vorrei chiedervi s'è ho svolto bene il seguente problema:

Fra le armature di un condensatore a facce piane parallele di area S, è presente una lastra conduttrice di spessore d, disposta parallelamente alle armature del condensatore a distanza $d_1$ e$d_2$ da esse. Trascurando gli effetti ai bordi calcolare:
a) La capacità del condensatore con la lastra;
b) il lavoro per rimuovere lentamente la lastra conduttrice dall' interno del condensatore, supponendo che questo, precedentemente caricato alla differenza di potenziale V, sia stato scollegato dal generatore;
c) il lavoro che bisogna fare per rimuovere la lastra, se il condensatore non è più isolato, ma è connesso al generatore di forza elettromotrice.

Dunque, per trovare la capacità del condensatore con la lastra, io ho supposto che il sistema sia come 2 condensatori messi in serie con distanza fra le piastre $d_1$ per il primo e $d_2$ per il secondo. Calcolandomi la capacitanza del sistema ottengo:
$C=\frac{S}{4\pi (d_1+d_2)}$

Per il punto b ho posto $dL=-dW$ dove $W$ è l'energia del sistema.
Nelle condizioni iniziali risulta:
$W_i=\frac{Q^2}{2 C}=\frac{4\pi (d_1+d_2)}{2S}$
mentre nelle condizioni finali risulta:
$W_f=\frac{4\pi (d_1+d_2+d)}{2S}$
otteniamo quindi:
$L=-(W_f-W_i)=-\frac{4\pi Q^2 d}{2S}$

Per il punto c invece abbiamo che:
$dL+dW=dW_{ext}$
dove $dW_{ext}$ è l'energia che fornisce il generatore dall'esterno per mantenere costante la differenza di potenziale.
Poichè il potenziale rimane costante l' energia che devi fornire il generatore per ogni variazione $dQ$ di carica:
$dW_{ext}=\sum_i \phi_i dQ_i$
e per definizione:
$dW=(1/2)\sum_i \phi_i dQ_i$
che combinandole otteniamo: $dW_{ext}=2dW$
E componendola con la legge di conservazione dell' energia abbiamo:
$dL+dW=dW_{ext} => dL+dW=2dW -> dL=dW$
quindi poichè:
$W_i=\frac{C V^2}{2}=\frac{S V^2}{2*4\pi(d_1+d_2)}$
e
$W_f=\frac{S V^2}{2*4\pi(d_1+d_2+d)}$
e quindi:
$L=W_f-W_i=\frac{S V^2}{8\pi}(\frac{1}{d_1+d_2+d}-\frac{1}{d_1+d_2})$

E' tutto corretto oppure o commesso qualche errore?