Condizioni suff. di integrabilità di campi tensoriali

[ralf86]

Ciao a tutti
nell'ambito della meccanica del continuo, in particolare nella teoria delle piccole deformazioni, mi sono trovato di fronte a questo problema (è un classico):

data una matrice E(x,y,z) 3x3, reale e simmetrica, funzione del generico punto (x,y,z) dello spazio "fisico", trovare sotto quali condizioni esiste un campo vettoriale u(x,y,z) tale che E=∇u+(∇u)T2


Ho indicato con
∇u il gradiente di u(x,y,z), cioè quella matrice, in generale non simmetrica, che ha per colonne i gradienti delle componenti del vettore
(∇u)T la matrice trasposta di ∇u



- Quale settore della matematica affronta questo genere di problemi? Mi sembra geometria differenziale ma non ne sono certo.
- Sapreste consigliarmi dei testi possibilmente più semplici possibile che forniscano le basi teoriche per affrontare questo genere di problemi

Sembra una specie di "fratello maggiore" del problema classico (che so trattare):
dato un campo vettoriale u(x,y,z), sotto quali condizioni esiste un potenziale scalare V tale che u=∇V

ho esposto qui solo il problema matematico, se siete interessati alla sua collocazione fisica
http://en.wikipedia.org/wiki/Compatibility_(mechanics)
alla sezione "Compatibility of infinitesimal strains" viene esposto il mio problema.
Qui viene fornito anche il risultato e la dimostrazione. Il risultato è chiaro: basta verificare che rot(rot(E))=0 e che E sia definito in un semplicemente connesso. La dimostrazione invece non mi è molto chiara, utilizza strumenti matematici simili a quelli utilizzati dal problema "minore" (vedi sopra), ma non so se e come possono essere generalizzati in questo ambito più esteso e generale

grazie in anticipo

[dissonance]

"ralf86":- Quale settore della matematica affronta questo genere di problemi? Mi sembra geometria differenziale ma non ne sono certo.
- Sapreste consigliarmi dei testi possibilmente più semplici possibile che forniscano le basi teoriche per affrontare questo genere di problemi

Si tratta di calcolo tensoriale classico, risalente (credo) a Cauchy e compagnia. Successivamente l'argomento è stato molto riveduto ed esteso, confluendo nella moderna geometria differenziale, ma nella meccanica dei continui si usano ancora i metodi classici che sono più semplici e intuitivi: soprattutto, sarai sempre in ambito euclideo e non ti occorrerà di porti molti problemi dovuti all'essere in varietà più complicate.

Prova a consultare i due testi riportati qui:

definizione-di-covettore-t67904.html

il secondo dovrebbe esserti utile. Il primo puoi tenerlo come complemento, più per curiosità che per altro.

[ralf86]

grazie mille, ma purtroppo anche nei tuoi link non trovo problemi di integrabilità simili al mio