Condizioni equilibrio statico per forze conservative (equil)
Un corpo è in equilibrio statico se e solo se su di esso non agisce alcuna forza, o se la risultante delle forze è nulla. Inoltre la sua velocità deve essere pari a zero.
Un punto materiale è in quiete (= equilibrio) in una posizione $P_0$è sottoposto a forze conservative, affinchè questo sia vero deve valere $vec F = - vec \nabla U = 0$ e questo vale poichè $L = \int vec F\ d\vec s = - \Delta U\ ?$
$\nabla$ è il gradiente, ovvero il vettore colonna delle derivate parziali? Quindi $((\partial U) / (\partial x) )_{P_0} = ((\partial U) / (\partial y ))_{P_0} = ((\partial U )/ (\partial z) )_{P_0} = 0$ e questo significa che in $P_0$ la funzione $U (x,y,z)$ ha un punto critico, di massimo o di minimo (potrebbe essere anche di sella giusto? Anche se il libro non ne parla...)
Da quello che ho capito Se è un minimo avremmo un equilibrio stabile, se un massimo, un equilibrio instabile.
Per semplicità consideriamo la funzione $U(x)$ e la forza conservativa $vec F\ (x)$. Se avessimo in $x_0$ un minimo allora $U (x) >= U (x_0)$. Se noi da $x_0$ ci spostiamo di $\delta x > 0$ allora avremmo una variazione $\delta U > 0$ e quindi la forza è $F = - (\delta U) / (\delta x) < 0$ cioè diretta verso $x_0$. Ragazzi però la frase sottolineata non l'ho capita
Mentre se $\delta x < 0$ allora $\delta U > 0$ ma la $F = - (\delta U) / (\delta x) > 0$ che tende sempre a riportarlo in $x_0$
Credo di aver capito il perchè F una volta è maggiore di zero ed una volta minore, sembra banale ma vorrei una conferma, però non ne ho capito il significato fisico...e perchè quell'equilibrio sia stabile.
Non vi chiedo il caso in cui $x^{\prime}$ sia un punto di massimo poichè capito bene quello che vi ho chiesto, dovrebbe essere una conseguenza, solo che al variare di $x$ l'energia potenziale ora diminuisce e non aumenta...Mentre l'equilibrio è indifferente quando $U(x) = C$
Grazie mille
Un punto materiale è in quiete (= equilibrio) in una posizione $P_0$è sottoposto a forze conservative, affinchè questo sia vero deve valere $vec F = - vec \nabla U = 0$ e questo vale poichè $L = \int vec F\ d\vec s = - \Delta U\ ?$
$\nabla$ è il gradiente, ovvero il vettore colonna delle derivate parziali? Quindi $((\partial U) / (\partial x) )_{P_0} = ((\partial U) / (\partial y ))_{P_0} = ((\partial U )/ (\partial z) )_{P_0} = 0$ e questo significa che in $P_0$ la funzione $U (x,y,z)$ ha un punto critico, di massimo o di minimo (potrebbe essere anche di sella giusto? Anche se il libro non ne parla...)
Da quello che ho capito Se è un minimo avremmo un equilibrio stabile, se un massimo, un equilibrio instabile.
Per semplicità consideriamo la funzione $U(x)$ e la forza conservativa $vec F\ (x)$. Se avessimo in $x_0$ un minimo allora $U (x) >= U (x_0)$. Se noi da $x_0$ ci spostiamo di $\delta x > 0$ allora avremmo una variazione $\delta U > 0$ e quindi la forza è $F = - (\delta U) / (\delta x) < 0$ cioè diretta verso $x_0$. Ragazzi però la frase sottolineata non l'ho capita
Mentre se $\delta x < 0$ allora $\delta U > 0$ ma la $F = - (\delta U) / (\delta x) > 0$ che tende sempre a riportarlo in $x_0$
Credo di aver capito il perchè F una volta è maggiore di zero ed una volta minore, sembra banale ma vorrei una conferma, però non ne ho capito il significato fisico...e perchè quell'equilibrio sia stabile.
Non vi chiedo il caso in cui $x^{\prime}$ sia un punto di massimo poichè capito bene quello che vi ho chiesto, dovrebbe essere una conseguenza, solo che al variare di $x$ l'energia potenziale ora diminuisce e non aumenta...Mentre l'equilibrio è indifferente quando $U(x) = C$
Grazie mille
Risposte
"davidedesantis":
Un punto materiale è in quiete (= equilibrio) in una posizione $P_0$è sottoposto a forze conservative, affinchè questo sia vero deve valere $vec F = - vec \nabla U = 0$ e questo vale poichè $L = \int vec F\ d\vec s = - \Delta U\ ?$
vale perchè per definizione di potenziale hai $F_(x_i) = - (del U)/(del x)$
"davidedesantis":che cosa non hai capito?
Per semplicità consideriamo la funzione $U(x)$ e la forza conservativa $vec F\ (x)$. Se avessimo in $x_0$ un minimo allora $U (x) >= U (x_0)$. Se noi da $x_0$ ci spostiamo di $\delta x > 0$ allora avremmo una variazione $\delta U > 0$ e quindi la forza è $F = - (\delta U) / (\delta x) < 0$ cioè diretta verso $x_0$. Ragazzi però la frase sottolineata non l'ho capita
Mentre se $\delta x < 0$ allora $\delta U > 0$ ma la $F = - (\delta U) / (\delta x) > 0$ che tende sempre a riportarlo in $x_0$
in parole povere. quella formulazione della F è per definizione di potenziale.prendi un asse x, se $del x > 0$ allora il punto si muove verso le x crescenti e una forza negativa si oppone al moto e cerca di riportarlo al punto iniziale. se poi diventa $del x < 0$ la forza dicviene positiva mente il punto cerca di andarsene verso le x negative ergo si oppone ancora al moto.
"davidedesantis":
Credo di aver capito il perchè F una volta è maggiore di zero ed una volta minore, sembra banale ma vorrei una conferma, però non ne ho capito il significato fisico...e perchè quell'equilibrio sia stabile.
il significato fisico è che la posizione di riposo è stabile, cioè per definizione, ad una perturbazione limitata corrisponde un moto limitato e che tende a smorzarsi nel punto di equilibrio.
prendi un pendolo. hai una posizione di equilibrio stabile se il pendolo è verticale e il peso in basso. infatti hai che , misurando l'angolo dalla verticale bassa (cioè equilibrio -> $theta=0$):
hai $U = mgl sin theta$,
le posizioni di equilibrio sono le soluzioni di $(del U)/(del theta) = mg cos theta =0$ ossia $theta = pi/2 + k pi$ che sono le posizioni verticali.
vediamo quali sono quelle stabili: $(del^2 U)/(del theta^2) |_(theta=pi/2)= -mg sin pi/2 < 0$ è stabile
invece $(del^2 U)/(del theta^2) |_(theta=3 pi/2)= -mg sin 3 pi/2 > 0$ instabile.
infatti se cerchi di alzare il pendolo quando è nella posizione stabile il peso tende a riportarlo li, in entrambe le direzioni. cioè vale quello che hai scritto
Non vi chiedo il caso in cui $x^{\prime}$ sia un punto di massimo poichè capito bene quello che vi ho chiesto, dovrebbe essere una conseguenza, solo che al variare di $x$ l'energia potenziale ora diminuisce e non aumenta...Mentre l'equilibrio è indifferente quando $U(x) = C$
Grazie mille[/quote]
Magnifico!, questa mattina ho rivisto queste cose, capendole, così mi hai tolto ogni dubbio, ti ringrazio cyd 
Una cosa che posso ancora chiederti ci sarebbe, un pò off topic, ma ci provo:
Sia $vec F = - grad U$ non ho capito bene il rotore (ad analisi non l'abbiamo fatto)
$rot\ vec F = vec nabla xx vec F = 0$ se la forza è conservativa...e si dice irrotazionale...
Sia $vec F = - grad U$ non ho capito bene il rotore (ad analisi non l'abbiamo fatto)
$rot\ vec F = vec nabla xx vec F = 0$ se la forza è conservativa...e si dice irrotazionale...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo