Condizioni al contorno elettrostatica
Ciao!!
Ho una domanda da farvi, spero di riuscire velocemente a capire questa cosa.
Leggo che nel caso di un problema elettrostatico che presenti condizioni al contorno, qualunque queste siano,
allora la formula usauale per il calcolo del potenziale, ovvero
$ Phi(x)=int_V(rho(x'))/(|x-x'|)d^3x' $
non è poi così utile, tranne che in casi particolari semplici. Potreste gentilmente spiegarmi intuitavamente perchè?
Grazie e buone feste!
Ho una domanda da farvi, spero di riuscire velocemente a capire questa cosa.
Leggo che nel caso di un problema elettrostatico che presenti condizioni al contorno, qualunque queste siano,
allora la formula usauale per il calcolo del potenziale, ovvero
$ Phi(x)=int_V(rho(x'))/(|x-x'|)d^3x' $
non è poi così utile, tranne che in casi particolari semplici. Potreste gentilmente spiegarmi intuitavamente perchè?
Grazie e buone feste!
Risposte
Sono sicuro che la formula non le dice niente perchè è la formula generale, cioè è adatta a tutti i casi. Così come è in effetti è poco utile se almeno non si dice di che volume si tratti: una sfera, un cilindro,... oppure si tratta di un oggetto di forma non geometrica come un cane, un auto, ...
Nel secondo caso l'integrale lo si può affrontare solo con l'ausilio di un computer che faccia il calcolo.
Nel secondo caso l'integrale lo si può affrontare solo con l'ausilio di un computer che faccia il calcolo.
Si in effetti io a quello ho pensato.
Essendo passato per il calcolo "manuale" dei campi delle varie distribuzioni di carica ,diciamo prima di Gauss,riesco a comprendere che questo tipo di formula sarà poco utili per distribuzioni più generali e simpatiche.
Il fatto è che sul libro su cui sto studiando elettromagnetismo, il Jackson, questo discorso viene introdotto così
Ecco qui se ho capito bene sta facendo riferimento, piuttosto che alla forma geometrica della distruzione, al fatto che si pongono vincoli sul potenziale (o sulla derivata normale di questo,o su tutte e due ma separate) su una certa superficie , che non sta più all'infinito come prima, cioè non sto più considerando
$ V(oo )=0 $
ma piuttosto che V sia uguale a una qualche costante , magari zero . su una certa superficie posta ad una certa distanza diciamo.
Essendo passato per il calcolo "manuale" dei campi delle varie distribuzioni di carica ,diciamo prima di Gauss,riesco a comprendere che questo tipo di formula sarà poco utili per distribuzioni più generali e simpatiche.
Il fatto è che sul libro su cui sto studiando elettromagnetismo, il Jackson, questo discorso viene introdotto così
...se nei problemi elettrostatici comparissero sempre distribuzioni localizzzate di carica, discrete o continue, senza superfici di confine, la soluzione generale sarebbe la piu diretta e conveniente per ogni problema.Nella realtà, naturalmente, molti , se non la maggior parte, dei problemi dell'elettrostatica sono formulati in regioni finite di spazio, contenenti o meno cariche , e con le condizioni al contorno assegnate sulle superfici di confine....
Ecco qui se ho capito bene sta facendo riferimento, piuttosto che alla forma geometrica della distruzione, al fatto che si pongono vincoli sul potenziale (o sulla derivata normale di questo,o su tutte e due ma separate) su una certa superficie , che non sta più all'infinito come prima, cioè non sto più considerando
$ V(oo )=0 $
ma piuttosto che V sia uguale a una qualche costante , magari zero . su una certa superficie posta ad una certa distanza diciamo.
any1?
Come afferma il tuo 
Testo, quella relazione è applicabile qualora si conosca la distribuzione di carica in ogni punto dello spazio, ma questo raramente avviene in pratica, tanto per fare un semplice esempio, prova a pensare come potresti usare quella relazione per determinare il potenziale se, in presenza anche di una sola carica puntiforme, fosse altresì presente nello spazio una qualsiasi superficie conduttrice. Per poterla applicare ti servirebbe sapere come viene a essere distribuita la carica indotta su quel conduttore e questa distribuzione non è per nulla semplice da determinare. Solo se sei "fortunato", e la superficie conduttrice è piana, puoi continuare ad usarla ricorrendo al metodo delle "immagini", ma non è di certo un caso pratico, visto che sarebbe indispensabile che il piano sia infinito, mentre normalmente si avrà a che fare con spazi finiti ... e a questo punto di certo il tuo testo (visto che è uno dei "Testi Sacri" dell'Elettromagnetismo) ti parlerà di certo del "Problema generale dell'elettrostatica", di Poisson e di Laplace, di "condizioni al contorno", di Dirichlet e di Neumann, ... ma qui il discorso sarebbe lungo. 
Testo, quella relazione è applicabile qualora si conosca la distribuzione di carica in ogni punto dello spazio, ma questo raramente avviene in pratica, tanto per fare un semplice esempio, prova a pensare come potresti usare quella relazione per determinare il potenziale se, in presenza anche di una sola carica puntiforme, fosse altresì presente nello spazio una qualsiasi superficie conduttrice. Per poterla applicare ti servirebbe sapere come viene a essere distribuita la carica indotta su quel conduttore e questa distribuzione non è per nulla semplice da determinare. Solo se sei "fortunato", e la superficie conduttrice è piana, puoi continuare ad usarla ricorrendo al metodo delle "immagini", ma non è di certo un caso pratico, visto che sarebbe indispensabile che il piano sia infinito, mentre normalmente si avrà a che fare con spazi finiti ... e a questo punto di certo il tuo testo (visto che è uno dei "Testi Sacri" dell'Elettromagnetismo) ti parlerà di certo del "Problema generale dell'elettrostatica", di Poisson e di Laplace, di "condizioni al contorno", di Dirichlet e di Neumann, ... ma qui il discorso sarebbe lungo.
Grazie per la risposta. Dovevo avere più pazienza. Sono arrivato qualche giorno fa a studiare quegli argomenti e ora mi è tutto un pochino più chiaro.
Condivido, per quel che vale, la tua "adorazione" per il testo, mi sta veramente prendendo !!
Condivido, per quel che vale, la tua "adorazione" per il testo, mi sta veramente prendendo !!
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