Condizione di puro rotolamento
Ciao a tutti
ho il seguente esercizio
data una palla da biliardo di raggio $r$ posta su un tavolo, alla quale viene impressa un velocità per mezzo della stecca che colpisce la palla ad una altezza $h$ dal tavolo, calcolare a che altezza deve essere colpita la palla affinché il moto sia di puro rotolamento.
Sappiamo che la stecca colpisce la palla in modo perpendicolare rispetto al tavolo
Il mio ragionamento è stato il seguente
il baricentro $b$ della palla è il centro della sfera.
la condizione di puro rotolamento vuole che il punto di contatto $C$ tra la palla e il tavolo abbia velocità nulla, quindi
[tex]\overrightarrow{v_{C}} = \overrightarrow{v}_{b} + \overrightarrow{\omega} \times \overrightarrow{r} = 0[/tex]
dove $v_b$ è la velocità del baricentro e $omega$ è la velocità angolare
ragionando i termini di modulo e considerando che l'angolo tra il raggio e il tavolo è $pi/2$ abbiamo
$v_b = -omega r$ da cui $omega = -v/r$ che derivata rispetto al tempo mi da $\dot{omega} = -a/r$
il momento torcente $D$ dato dalla stecca che colpisce la palla è dato da
[tex]\overrightarrow{D} = \overrightarrow{F} \times \overrightarrow{h}[/tex]
tenendo nuovamente conto che la stecca colpisce in modo perpendicolare al tavolo, in modulo abbiamo
$D= F \cdot h$
applicando ore il teorema di Steiner ho visto che lo stesso momento torcente $D$ lo posso vedere come
[tex]D = \left(I_{b} + M(h-r)^{2}\right) \dot{\omega}[/tex]
dove $I_b$ è il momento d'inerzia del baricentro $M$ è la massa della palla e ho preso $h-r$ come distanza tra il punto in cui viene applicata la forza e il baricentro
il momento di inerzia del baricentro lo vedo come $I_b = 2/5 M r^2$
quindi ottengo
da cui [tex]\dot{\omega} = \frac{h\cdot F}{ \frac{2}{5}Mr^{2} + M\left( h-r \right)^{2}}[/tex]
eguagliando con $\dot{omega}$ trovato in precedenza ottengo
[tex]- \frac{a_{b}}{r} = \frac{h\cdot F}{ \frac{2}{5}Mr^{2} + M\left( h-r \right)^{2}}[/tex]
da cui
[tex]h=- \frac{a_{b}}{r} \cdot \frac{ \frac{2}{5}Mr^{2} + M\left( h-r \right)^{2}}{F}[/tex]
a questo punto posso vedere $F = M\cdot a_{b}$ e quindi fare un po' di semplificazioni o sono sulla strada sbagliata?
grazie mille a tutti
ho il seguente esercizio
data una palla da biliardo di raggio $r$ posta su un tavolo, alla quale viene impressa un velocità per mezzo della stecca che colpisce la palla ad una altezza $h$ dal tavolo, calcolare a che altezza deve essere colpita la palla affinché il moto sia di puro rotolamento.
Sappiamo che la stecca colpisce la palla in modo perpendicolare rispetto al tavolo
Il mio ragionamento è stato il seguente
il baricentro $b$ della palla è il centro della sfera.
la condizione di puro rotolamento vuole che il punto di contatto $C$ tra la palla e il tavolo abbia velocità nulla, quindi
[tex]\overrightarrow{v_{C}} = \overrightarrow{v}_{b} + \overrightarrow{\omega} \times \overrightarrow{r} = 0[/tex]
dove $v_b$ è la velocità del baricentro e $omega$ è la velocità angolare
ragionando i termini di modulo e considerando che l'angolo tra il raggio e il tavolo è $pi/2$ abbiamo
$v_b = -omega r$ da cui $omega = -v/r$ che derivata rispetto al tempo mi da $\dot{omega} = -a/r$
il momento torcente $D$ dato dalla stecca che colpisce la palla è dato da
[tex]\overrightarrow{D} = \overrightarrow{F} \times \overrightarrow{h}[/tex]
tenendo nuovamente conto che la stecca colpisce in modo perpendicolare al tavolo, in modulo abbiamo
$D= F \cdot h$
applicando ore il teorema di Steiner ho visto che lo stesso momento torcente $D$ lo posso vedere come
[tex]D = \left(I_{b} + M(h-r)^{2}\right) \dot{\omega}[/tex]
dove $I_b$ è il momento d'inerzia del baricentro $M$ è la massa della palla e ho preso $h-r$ come distanza tra il punto in cui viene applicata la forza e il baricentro
il momento di inerzia del baricentro lo vedo come $I_b = 2/5 M r^2$
quindi ottengo
da cui [tex]\dot{\omega} = \frac{h\cdot F}{ \frac{2}{5}Mr^{2} + M\left( h-r \right)^{2}}[/tex]
eguagliando con $\dot{omega}$ trovato in precedenza ottengo
[tex]- \frac{a_{b}}{r} = \frac{h\cdot F}{ \frac{2}{5}Mr^{2} + M\left( h-r \right)^{2}}[/tex]
da cui
[tex]h=- \frac{a_{b}}{r} \cdot \frac{ \frac{2}{5}Mr^{2} + M\left( h-r \right)^{2}}{F}[/tex]
a questo punto posso vedere $F = M\cdot a_{b}$ e quindi fare un po' di semplificazioni o sono sulla strada sbagliata?
grazie mille a tutti
Risposte
Sei sulla strada sbagliata
Ti faccio notare che se la stecca colpisce la palla dall'alto, perpendicolarmente al tavolo,
allora per per la prima equazione cardinale della dinamica deve nascere
una forza di attrito T affinchè il baricentro accelleri.
Deve considerare dunque il coefficiente di attrito statico.
$F=Ma_b$ è sbagliata, non può usare le equazioni come ti pare, devi proiettare
correttamente sugli assi. Lo stesso dicasi per $D$, devi indicare rispetto a quale polo calcoli un momento,
nel tuo caso non c'è proprio un nesso logico. E devi sempre indicare quale sia il tuo sistema di riferimento,
con un disegno se puoi.
Ti faccio notare che se la stecca colpisce la palla dall'alto, perpendicolarmente al tavolo,
allora per per la prima equazione cardinale della dinamica deve nascere
una forza di attrito T affinchè il baricentro accelleri.
Deve considerare dunque il coefficiente di attrito statico.
$F=Ma_b$ è sbagliata, non può usare le equazioni come ti pare, devi proiettare
correttamente sugli assi. Lo stesso dicasi per $D$, devi indicare rispetto a quale polo calcoli un momento,
nel tuo caso non c'è proprio un nesso logico. E devi sempre indicare quale sia il tuo sistema di riferimento,
con un disegno se puoi.
mi sono spiegato molto male in effetti
la stecca non colpisce la palla dall'alto, ma come di consueto quando si gioca a biliardo.
La stecca si muove parallelamente al tavolo colpendo la palla in modo perfettamente perpendicolare (all'asse della palla)
il ragionamento sulla condizione di puro rotolamento dovrebbe essere corretta
credo pertanto di confondermi sul trovare una relazione che mi permetta di eguagliare una grandezza derivante dal puro rotolamento con una derivante del momento torcente generato dalla stecca
la stecca non colpisce la palla dall'alto, ma come di consueto quando si gioca a biliardo.
La stecca si muove parallelamente al tavolo colpendo la palla in modo perfettamente perpendicolare (all'asse della palla)
il ragionamento sulla condizione di puro rotolamento dovrebbe essere corretta
credo pertanto di confondermi sul trovare una relazione che mi permetta di eguagliare una grandezza derivante dal puro rotolamento con una derivante del momento torcente generato dalla stecca
"Summerwind78":
Sappiamo che la stecca colpisce la palla in modo perpendicolare rispetto al tavolo
Questo l'hai scritto tu è!
allora il problema è più semplice, risolvi scrivendo l'equazione dei momenti rispetto al punto di contatto
e l'equilibrio delle forze, e considera la relazione di puro rotolamento.
L'attrito è da considerarsi nullo.
si si , ho visto di averlo scritto io... 
sono un po' fuso, pardon!
sono un po' fuso, pardon!
vediamo se ci sono
la stecca colpisce la palla ad una distanza $d = h-r$ dal baricentro della palla (quindi dal centro)
questo dovrebbe quindi generare un momento angolare (e qui mi perdevo perchè io ragionavo sul momento torcente) pari a
$L = (h-r)\cdot p$ dove $p$ è la quantità di moto della palla, quindi quella del baricentro $mv$
pertanto ho $L = (h-r)mv$
adesso lo eguaglio al momento angolare del baricentro che essendo conservativo non cambia vedendolo come $L = omega I$ dove $I$ è il momento di inerzia della palla pari a $I = 2/5 mr^2$ da cui mi viene
$(h-r)mv = 2/5 omega mr^2$ semplificando $(h-r)v = 2/5 omega r^2$
adesso mi viene un dubbio, se riprendo la condizione di puro rotolamento $v=-omega r$ trovata prima ho
$-(h-r)omega r = 2/5 omega r^2$ quindi $r-h = 2/5 r$ ovvero $h =r- 2/5 r =3/5 r$
però stando al disegno che ho nell'esercizio mi verrebbe da pensare che la stecca debba colpire al di sopra del centro e non al di sotto
sbaglio?
la stecca colpisce la palla ad una distanza $d = h-r$ dal baricentro della palla (quindi dal centro)
questo dovrebbe quindi generare un momento angolare (e qui mi perdevo perchè io ragionavo sul momento torcente) pari a
$L = (h-r)\cdot p$ dove $p$ è la quantità di moto della palla, quindi quella del baricentro $mv$
pertanto ho $L = (h-r)mv$
adesso lo eguaglio al momento angolare del baricentro che essendo conservativo non cambia vedendolo come $L = omega I$ dove $I$ è il momento di inerzia della palla pari a $I = 2/5 mr^2$ da cui mi viene
$(h-r)mv = 2/5 omega mr^2$ semplificando $(h-r)v = 2/5 omega r^2$
adesso mi viene un dubbio, se riprendo la condizione di puro rotolamento $v=-omega r$ trovata prima ho
$-(h-r)omega r = 2/5 omega r^2$ quindi $r-h = 2/5 r$ ovvero $h =r- 2/5 r =3/5 r$
però stando al disegno che ho nell'esercizio mi verrebbe da pensare che la stecca debba colpire al di sopra del centro e non al di sotto
sbaglio?
"Summerwind78":
vediamo se ci sono
la stecca colpisce la palla ad una distanza $d = h-r$ dal baricentro della palla (quindi dal centro)
questo dovrebbe quindi generare un momento angolare (e qui mi perdevo perchè io ragionavo sul momento torcente) pari a
$L = (h-r)\cdot p$ dove $p$ è la quantità di moto della palla, quindi quella del baricentro $mv$
Non capisco questa cosa.. comunque paradossalmente sei riuscito a arrivare molto vicino al risultato,
ma hai scritto cose sbagliate.
Fai come ti ho suggerito, no?
Veramente pensavo di essere partito proprio da ció che mi hai indicato tu, ovvero l'equazione del momento angolare generato dalla stecca rispetto al baricentro
cosa ho scritto di sbagliato?
cosa ho scritto di sbagliato?
equazione dei momenti ergo seconda equazione cardinale
in pratica dalla prima equazione cardinale ti ricavi $\ddot{x}_G$ in funzione di F
dalla seconda equazione cardinale sfruttando l'equazione di puro rotolamento e considerando nulla la forza di attrito
isoli h.
in pratica dalla prima equazione cardinale ti ricavi $\ddot{x}_G$ in funzione di F
dalla seconda equazione cardinale sfruttando l'equazione di puro rotolamento e considerando nulla la forza di attrito
isoli h.
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