Condensatori in serie con dielettrico forse non lineare
Due condensatori piani sono caratterizzati rispettivamente dalle capacità \(\displaystyle C_1 ,C_2\) e dalle distanze tra le armature \(\displaystyle d_1,d_2 \). Inizialmente essi sono collegati in serie tra loro e in serie con un generatore di tensione \(\displaystyle V_0 \).
(a) In tali condizioni si vuole inserire un dielettrico nel secondo condensatore, riempiendolo completamente, in modo che le nuove tensioni dei condensatori siano \(\displaystyle V_1'=2V_2' \). Quanto deve valere la costante dielettrica?
Dalla configurazione iniziale posso ricavarmi le superfici dei condensatori: \(\displaystyle S_{1,2}=C_{1,2}d/\epsilon_0 \). Visto che sono in serie, posso ricavarmi anche la capacità equivalente, \(\displaystyle C_{eq}=(1/C_1+1/C_2)^{-1} \), e di conseguenza la carica, \(\displaystyle q_1=q_2=q=C_{eq}V_0 \) e le tensioni \(\displaystyle V_{1,2}=q/C_{1,2}\). Inserendo il dielettrico, si ha una nuova capacità \(\displaystyle C_2'=\epsilon_rC_2 \) e di conseguenza una nuova capacità \(\displaystyle C_{eq}' \). Affinché si abbia \(\displaystyle q'=C_{eq}V_0 \) tale che \(\displaystyle V_1'=q'/C_1=2V_2'=q'/C_2' \) deve essere soddisfatta la condizione \(\displaystyle 1/C_1=1/C_2'=1/\epsilon_rC_2 \), cioè \(\displaystyle \epsilon_r=C_1/C_2 \).
(b) Si calcolino le cariche libere e di polarizzazione e i campi \(\displaystyle E,D \).
Allora, io ho trovato la carica totale nel condensatore sia prima che dopo l'inserimento del dielettrico. E' ingenuo calcolare la carica di polarizzazione come \(\displaystyle \Delta q=q'-q \)? E ovviamente, il resto sarebbe la carica libera?
Per quanto riguarda i campi, \(\displaystyle E \) può essere trovato dalla solita relazione \(\displaystyle V_2'/d \). Invece ho un attimo di incertezza per quanto riguarda $D$. Dato che non conosco il vettore di polarizzazione, posso usare semplicemente la formula \(\displaystyle D=\epsilon_0\epsilon_r \)? Se sì, allora sono a posto... ma non viene specificato che si tratta di un dielettrico lineare!
(c) Se si stacca il generatore e si rimettono i due condensatori in parallelo, come si ridistribuisce la carica libera? E qual è la tensione ai capi dei condensatori?
Staccare il generatore implica che la carica totale rimanga conservata. Qui ho un altro piccolo dubbio che mi fa pensare a un possibile errore nel mio modo di ragionare nel primo punto. Lì avevo imposto che la carica in ciascuno dei due condensatori, essendo in serie, fosse uguale, e in particolare uguale a quella del condensatore equivalente. Ma allora i conti non mi tornano qua, perché la carica totale conservata sarebbe tipo \(\displaystyle 2q \)... o mi sbaglio?
Inoltre, per essere sicuro di contare solo la carica libera, posso "ignorare" la costante dielettrica e lavorare come se entrambi i condensatori siano rimasti vuoti? Per poi far "ricomparire" la costante nel calcolo delle tensioni?
So che sono un bel po' di domande, ringrazio già chiunque si prenda la briga di rispondere
(a) In tali condizioni si vuole inserire un dielettrico nel secondo condensatore, riempiendolo completamente, in modo che le nuove tensioni dei condensatori siano \(\displaystyle V_1'=2V_2' \). Quanto deve valere la costante dielettrica?
Dalla configurazione iniziale posso ricavarmi le superfici dei condensatori: \(\displaystyle S_{1,2}=C_{1,2}d/\epsilon_0 \). Visto che sono in serie, posso ricavarmi anche la capacità equivalente, \(\displaystyle C_{eq}=(1/C_1+1/C_2)^{-1} \), e di conseguenza la carica, \(\displaystyle q_1=q_2=q=C_{eq}V_0 \) e le tensioni \(\displaystyle V_{1,2}=q/C_{1,2}\). Inserendo il dielettrico, si ha una nuova capacità \(\displaystyle C_2'=\epsilon_rC_2 \) e di conseguenza una nuova capacità \(\displaystyle C_{eq}' \). Affinché si abbia \(\displaystyle q'=C_{eq}V_0 \) tale che \(\displaystyle V_1'=q'/C_1=2V_2'=q'/C_2' \) deve essere soddisfatta la condizione \(\displaystyle 1/C_1=1/C_2'=1/\epsilon_rC_2 \), cioè \(\displaystyle \epsilon_r=C_1/C_2 \).
(b) Si calcolino le cariche libere e di polarizzazione e i campi \(\displaystyle E,D \).
Allora, io ho trovato la carica totale nel condensatore sia prima che dopo l'inserimento del dielettrico. E' ingenuo calcolare la carica di polarizzazione come \(\displaystyle \Delta q=q'-q \)? E ovviamente, il resto sarebbe la carica libera?
Per quanto riguarda i campi, \(\displaystyle E \) può essere trovato dalla solita relazione \(\displaystyle V_2'/d \). Invece ho un attimo di incertezza per quanto riguarda $D$. Dato che non conosco il vettore di polarizzazione, posso usare semplicemente la formula \(\displaystyle D=\epsilon_0\epsilon_r \)? Se sì, allora sono a posto... ma non viene specificato che si tratta di un dielettrico lineare!
(c) Se si stacca il generatore e si rimettono i due condensatori in parallelo, come si ridistribuisce la carica libera? E qual è la tensione ai capi dei condensatori?
Staccare il generatore implica che la carica totale rimanga conservata. Qui ho un altro piccolo dubbio che mi fa pensare a un possibile errore nel mio modo di ragionare nel primo punto. Lì avevo imposto che la carica in ciascuno dei due condensatori, essendo in serie, fosse uguale, e in particolare uguale a quella del condensatore equivalente. Ma allora i conti non mi tornano qua, perché la carica totale conservata sarebbe tipo \(\displaystyle 2q \)... o mi sbaglio?
Inoltre, per essere sicuro di contare solo la carica libera, posso "ignorare" la costante dielettrica e lavorare come se entrambi i condensatori siano rimasti vuoti? Per poi far "ricomparire" la costante nel calcolo delle tensioni?
So che sono un bel po' di domande, ringrazio già chiunque si prenda la briga di rispondere
Risposte
Sono molte domande, e intervengo solo su un punto, e, per di più, per criticare...
Mi sembra un po' strano - non ho guardato i conti - che ti risulti \(\displaystyle \epsilon_r=C_1/C_2 \)
Questo vorrebbe dire che, se i due condensatori sono uguali ($C_1 = C_2$) dovrebbe essere $epsi_r = 1$, cioè in sostanza, nessun dielettrico, ossia lasciamo le cose come stanno: e così sarebbe $V_1 = 2V_2$ ? Mi pare che sarebbe $V_1 = V_2$...
Mi sembra un po' strano - non ho guardato i conti - che ti risulti \(\displaystyle \epsilon_r=C_1/C_2 \)
Questo vorrebbe dire che, se i due condensatori sono uguali ($C_1 = C_2$) dovrebbe essere $epsi_r = 1$, cioè in sostanza, nessun dielettrico, ossia lasciamo le cose come stanno: e così sarebbe $V_1 = 2V_2$ ? Mi pare che sarebbe $V_1 = V_2$...
Hai proprio ragione... dove sta il problema?
Forse hai solo dimenticato un 2 da qualche parte...
Comunque, direi che:
$V_1 = C_2/C_1V_2$ all'inizio e $V_1 = 2V_2$ dopo inserito il dielettrico, quindi $(C'_2)/C_1 = (epsi_rC_2)/C_1 = 2 -> epsi_r = 2C_1/C_2$
Qui direi che la questione è: cosa vuol dire collegare i condensatori in parallelo? Secondo me, significa collegare il più con più e il meno col meno. In questo caso la carica sulle armature è complessivamente $2q$, come dici tu. Solo che le capacità sono diverse, e la carica si distribuisce in proporzione delle capacità, cioè $2/3q$ su $C_1$ e $4/3q$ su $C_2$. La tensione è la stessa - sono in parallelo - e vale $2/(3qC_1)$
Comunque, direi che:
$V_1 = C_2/C_1V_2$ all'inizio e $V_1 = 2V_2$ dopo inserito il dielettrico, quindi $(C'_2)/C_1 = (epsi_rC_2)/C_1 = 2 -> epsi_r = 2C_1/C_2$
"Nagato":
(c) Se si stacca il generatore e si rimettono i due condensatori in parallelo, come si ridistribuisce la carica libera? E qual è la tensione ai capi dei condensatori?
Staccare il generatore implica che la carica totale rimanga conservata. Qui ho un altro piccolo dubbio che mi fa pensare a un possibile errore nel mio modo di ragionare nel primo punto. Lì avevo imposto che la carica in ciascuno dei due condensatori, essendo in serie, fosse uguale, e in particolare uguale a quella del condensatore equivalente. Ma allora i conti non mi tornano qua, perché la carica totale conservata sarebbe tipo \(\displaystyle 2q \)
Qui direi che la questione è: cosa vuol dire collegare i condensatori in parallelo? Secondo me, significa collegare il più con più e il meno col meno. In questo caso la carica sulle armature è complessivamente $2q$, come dici tu. Solo che le capacità sono diverse, e la carica si distribuisce in proporzione delle capacità, cioè $2/3q$ su $C_1$ e $4/3q$ su $C_2$. La tensione è la stessa - sono in parallelo - e vale $2/(3qC_1)$
Hai ragione ho dimenticato un fattore di $2$ 
Comunque, per l'ultimo punto, mi ero perso un attimo il fatto che adesso sono in parallelo, quindi la carica totale è effettivamente $2q$ ma è distribuita in modo diverso tra i due condensatori! Più o meno mi torna. Comunque mi rimangono due dubbi stupidi. Il primo è: quando calcolo la carica relativa al condensatore equivalente, perché non trovo la carica totale? E il secondo: nei tuoi calcoli nell'ultimo punto, hai considerato oppure no il dielettrico inserito nel secondo condensatore? Se sì, non stai rappresentando la carica totale, compresa quella di polarizzazione, oltre che quella libera che vuole il testo?
Comunque grazie mille per l'aiuto
Comunque, per l'ultimo punto, mi ero perso un attimo il fatto che adesso sono in parallelo, quindi la carica totale è effettivamente $2q$ ma è distribuita in modo diverso tra i due condensatori! Più o meno mi torna. Comunque mi rimangono due dubbi stupidi. Il primo è: quando calcolo la carica relativa al condensatore equivalente, perché non trovo la carica totale? E il secondo: nei tuoi calcoli nell'ultimo punto, hai considerato oppure no il dielettrico inserito nel secondo condensatore? Se sì, non stai rappresentando la carica totale, compresa quella di polarizzazione, oltre che quella libera che vuole il testo?
Comunque grazie mille per l'aiuto
"Nagato":
quando calcolo la carica relativa al condensatore equivalente, perché non trovo la carica totale?
Cosa intendi con carica totale? La somma delle cariche sui due condensatori?
"Nagato":
E il secondo: nei tuoi calcoli nell'ultimo punto, hai considerato oppure no il dielettrico inserito nel secondo condensatore?
Sì, dato che ho assunto $C_2 = 2C_1$
"Nagato":
Se sì, non stai rappresentando la carica totale, compresa quella di polarizzazione, oltre che quella libera che vuole il testo?
Prova a spiegare meglio il tuo dubbio, che non l'ho capito
Esatto, intendo la somma. Il mio secondo dubbio è questo: quando faccio i conti utilizzando la formula \(\displaystyle q=CV \), $q$ rappresenta la carica totale presente nel condensatore, ovvero \(\displaystyle q=q_f+q_p \). Il testo del problema nel terzo punto chiede di lavorare con la carica libera. Quindi mi pare sia sbagliato lasciare il risultato in termini di $q$, e mi chiedo come fare rapidamente i conti "ignorando" la carica di polarizzazione. Per quello chiedevo se mi basta "ignorare" il dielettrico, scrivendo semplicemente $C_2$ come capacità, per ottenere direttamente la carica libera.
"Nagato":
quando faccio i conti utilizzando la formula \(\displaystyle q=CV \), $q$ rappresenta la carica totale presente nel condensatore, ovvero \(\displaystyle q=q_f+q_p \).
Mah, non mi pare... Pensa un condensatore in aria, con una ddp $V$. Sulle facce c'è la carica $Q_0 = C_0V$. Ora inseriamo un dielettrico con $epsi_r$. Sulle facce c'è ora la carica (libera) $Q_1 = epsi_rQ_0$, e la capacità diventa $C_1 = epsi_rC_0$. Come mai? Perchè sulle facce del dielettrico si forma una carica di polarizzazione che vale $Q_1 - Q_0$, ma opposta a quella libera. In questo modo la carica totale, quella che determina il campo elettrico nel condensatore, è ancora $Q_1 - (Q_1 - Q_0) = Q_0$, e il campo rimane lo stesso di prima, come è ovvio, visto che la ddp e la distanza sono le stesse.
Hai ragione... ma allora il modo in cui avrei svolto il secondo punto, sarebbe errato? 
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