Condensatori in serie
Buona sera. Ho risolto il seguente problema:
-Un condesatore piano di capacità $C_0=0.6muF$ avente armature di area $Sigma$ distanti $h=1cm$ viene collegato ad un generatore che fornisce la d.d.p $V_0=10^3 V$. Una lastra conduttrice a facce piane e parallele, di area $Sigma$, spessa $x=4mm$ viene inserita parallelamente tra le armature.Calcolare di quanto varia la capacità e quanto lavoro compiono le forze del campo se durante il processo resta costante la carica sulle armature o la d.d.p tra le stesse.
Procedimento:
aggiungendo la lastra si ottengono due condensatori in serie: $C_(eq)=(1/C_1+1/C_2)^(-1)=(epsi_0Sigma)/(h-x)$.
Si nota che la capacità finale è maggiore di quella iniziale, essendo $h/(h-x)=C_f/C_i>1$.
Detto ciò calcolo il lavoro del sistema (a carica costante) come: $L_s=-(U_f-U_i)=-(q/2E*(h-x)-qV_0)=0,12J$, ove $L_s$ indica il lavoro del sistema.
Quindi ,a carica costante, il lavoro DEL SISTEMA corrisponde a lasciare che una delle due armature sia mobile (in questo caso quella negativa) e si sposti di $h-x$ rispetto alla sua posizione iniziale $h$ sotto l'azione della forza dovuta ad una delle lastre scelta come fissa (in tal caso quella positiva).
Fin qui va tutto bene.
Quando calcolo però il lavoro del generatore (che fa in modo che il potenziale del sistema rimanga costante) ottengo, con la formula $DeltaU=int_(C_i)^(C_f)V^2/2dC=0,2J$ e quindi $L_(ext)=0,4J$. La mia domanda ora è: come mai le due variazioni di energia sono diverse? Secondo il mio libro il lavoro che un generatore dovrebbe compiere, per mantenere il potenziale del sistema costante, dovrebbe essere il doppio di quello compiuto dal sistema a carica costante. Qui pero' si hanno due valori completamente diversi... Potreste spiegarmi il motivo?
Grazie
-Un condesatore piano di capacità $C_0=0.6muF$ avente armature di area $Sigma$ distanti $h=1cm$ viene collegato ad un generatore che fornisce la d.d.p $V_0=10^3 V$. Una lastra conduttrice a facce piane e parallele, di area $Sigma$, spessa $x=4mm$ viene inserita parallelamente tra le armature.Calcolare di quanto varia la capacità e quanto lavoro compiono le forze del campo se durante il processo resta costante la carica sulle armature o la d.d.p tra le stesse.
Procedimento:
aggiungendo la lastra si ottengono due condensatori in serie: $C_(eq)=(1/C_1+1/C_2)^(-1)=(epsi_0Sigma)/(h-x)$.
Si nota che la capacità finale è maggiore di quella iniziale, essendo $h/(h-x)=C_f/C_i>1$.
Detto ciò calcolo il lavoro del sistema (a carica costante) come: $L_s=-(U_f-U_i)=-(q/2E*(h-x)-qV_0)=0,12J$, ove $L_s$ indica il lavoro del sistema.
Quindi ,a carica costante, il lavoro DEL SISTEMA corrisponde a lasciare che una delle due armature sia mobile (in questo caso quella negativa) e si sposti di $h-x$ rispetto alla sua posizione iniziale $h$ sotto l'azione della forza dovuta ad una delle lastre scelta come fissa (in tal caso quella positiva).
Fin qui va tutto bene.
Quando calcolo però il lavoro del generatore (che fa in modo che il potenziale del sistema rimanga costante) ottengo, con la formula $DeltaU=int_(C_i)^(C_f)V^2/2dC=0,2J$ e quindi $L_(ext)=0,4J$. La mia domanda ora è: come mai le due variazioni di energia sono diverse? Secondo il mio libro il lavoro che un generatore dovrebbe compiere, per mantenere il potenziale del sistema costante, dovrebbe essere il doppio di quello compiuto dal sistema a carica costante. Qui pero' si hanno due valori completamente diversi... Potreste spiegarmi il motivo?
Grazie
Risposte
Trovato! la diminuzione di energia nel primo caso è dovuta solo allo spazio occupato dalla lastra, come dimostra la formula$U_f-U_i=q/2*E(h-x)-qE/2h=-q/2Ex$. Inoltre si nota che $q^2/(2epsi_0Sigma)*h/h*x=q^2/(2C_i)*x/h$ altro segnale che ci fa capire che l'energia diminuisce come il rapporto fra lo spazio occupato dalla lastra e la distanza $h$ tra le estremità. Di conseguenza a potenziale costante la carica, che deve aumentare in quanto la capacità aumenta, varierà di tante volte quante l'energia persa; nel caso a potenziale costante, introducendo la suddetta lastra, grazie alla presenza del generatore verrà fornita al sistema: $DeltaU=U_f-U_i=U_i*(h/(h-x))-q/2V_0=0,2J$. L'altra metà è spesa per il lavoro meccanico sempre dal generatore.
P.S molto più chiaramente si potrebbe scrivere: primo caso (carica costante) $L_s=U_i-U_f=U_i*k-U_i=(k-1)U_i$
secondo caso (potenziale costnte)$Xi=-DeltaU_g=DeltaU_s=U_i/k-U_i$
ove $k=C_i/C_f=(h-x)/h$,$DeltaU_s$ è la variazione di energia potenziale del sistema elettrico e $Xi$ la tensione del generatore o,volendo, lavoro del generatore.
P.S molto più chiaramente si potrebbe scrivere: primo caso (carica costante) $L_s=U_i-U_f=U_i*k-U_i=(k-1)U_i$
secondo caso (potenziale costnte)$Xi=-DeltaU_g=DeltaU_s=U_i/k-U_i$
ove $k=C_i/C_f=(h-x)/h$,$DeltaU_s$ è la variazione di energia potenziale del sistema elettrico e $Xi$ la tensione del generatore o,volendo, lavoro del generatore.