Condensatori e dielettrici - esercizietto

[Angelo D.1]

Salve gente! andando al dunque;

Sia dato un condensatore piano con aramature di area $S = 1 \ cm^2$ poste a distanza $h = 1 \ cm$. Parallelamente alle armature viene inserita una lastra di materiale dielettrico di spessore $d = 5 \ mm$ e costante dielettrica relativa $epsilon_r = 5$. Calcolare il rapporto tra le capacità del condensatore prima e dopo l'inserzione del dielettrico. Calcolare, inoltre, la densità di carica di polarizzazione superficiale presente sul dielettrico nel caso in cui una carica $Q = 1 \ nC$ sia depositata su di un'armatura del condensatore. [N.B. Si trascurino gli effetti di bordo]

Il mio dubbio sta nel calcolo del rapporto fra le capacità; la capacità iniziale, quindi senza dielettrico, vale semplicemente:

$C_i = \epsilon_0 S/h$

Mentre dopo l'inserzione del dielettrico, posso considerare la capacità finale $C_f$ come due condensatori in serie, uno nel vuoto con spessore:

$(h - d)$ , quindi $C_1 = \epsilon_0 S/(h-d)$

Pertanto l'altro nel dielettrico, con spessore $d$, di capacità $C_2 = \epsilon_0 \epsilon_r S / d$

Quindi determino la $C_f$, come:

$1/(C_f) = 1/C_1 + 1/C_2$

Ottenuto $C_f$, mi ricavo il rapporto $C_i / C_f$ , va bene tale procedimento? rispondete solo se siete sicuri, grazie mille

[Sk_Anonymous]

$D_1=D_2=Q/S rarr (E_1=Q/(\epsilon_0S)) ^^ (E_2=Q/(\epsilon_0\epsilon_rS))$

$\DeltaV=E_1(h-d)+E_2d=Q/(\epsilon_0S)(h-d)+Q/(\epsilon_0\epsilon_rS)d=Q/(\epsilon_0S)(h-d+d/\epsilon_r)$

$C=Q/(\DeltaV)=(\epsilon_0S)/(h-d+d/\epsilon_r)=1/(1/C_1+1/C_2)=1/(1/(\epsilon_0S/(h-d))+1/(\epsilon_0\epsilon_rS/d))$