Condensatore sferico con dielettrico
Salve a tutti, avrei un problema con questo esercizio :
Una sferetta metallica piena di raggio $ R_0 $ è posta al centro di una calotta sferica metallica connessa a terra di raggio interno $ R_1 $ ed esterno $ R_2 $ . I due conduttori sono separati da una regione di spazio riempita completamente da un dielettrico con costante dielettrica relativa $ epsi_r $ . Partendo da una situazione iniziale di totale assenza di cariche elettriche nel sistema , viene fornita una carica Q alla sferetta più interna . Sapendo che il potenziale della sferetta è $ V_0 $ calcolare la carica Q e l'energia elettrostatica immagazzinata nel sistema.
Dunque ciò che mi disturba è il fatto che la calotta sia collegata a terra , non so come interpretare questo dato , ahimè .
Per il resto , lui mi da il potenziale della sferetta centrale ...devo calcolarmi la differenza di potenziale tra sup esterna e sferetta per il calcolo di Q?
Sennò ho anche pensato alla conservazione dell'energia...come lo potrei impostare?
(Ps una volta capito come approcciarlo conosco le formule relative all'elettrostatica nei dielettrici , quindi penso di potercela fare)
Una sferetta metallica piena di raggio $ R_0 $ è posta al centro di una calotta sferica metallica connessa a terra di raggio interno $ R_1 $ ed esterno $ R_2 $ . I due conduttori sono separati da una regione di spazio riempita completamente da un dielettrico con costante dielettrica relativa $ epsi_r $ . Partendo da una situazione iniziale di totale assenza di cariche elettriche nel sistema , viene fornita una carica Q alla sferetta più interna . Sapendo che il potenziale della sferetta è $ V_0 $ calcolare la carica Q e l'energia elettrostatica immagazzinata nel sistema.
Dunque ciò che mi disturba è il fatto che la calotta sia collegata a terra , non so come interpretare questo dato , ahimè .
Per il resto , lui mi da il potenziale della sferetta centrale ...devo calcolarmi la differenza di potenziale tra sup esterna e sferetta per il calcolo di Q?
Sennò ho anche pensato alla conservazione dell'energia...come lo potrei impostare?
(Ps una volta capito come approcciarlo conosco le formule relative all'elettrostatica nei dielettrici , quindi penso di potercela fare)
Risposte
Collegare un conduttore a "a terra" significa collegarlo ad un conduttore con dimensioni di molti ordini di grandezza superiore a quella massima del sistema, il conduttore terra può sostanzialmente essere considerato infinito e può quindi ricevere o fornire carica senza che ci sia cambiamento nel suo potenziale; morale della favola significa convenzionalmente andare a collegarsi ad un corpo a potenziale nullo.
Dunque la calotta sferica sarebbe collegata a un conduttore a potenziale nullo , questo come può aiutarmi a risolvere il problema?
Per il calcolo della carica Q ho pensato..dato che mi da il potenziale della sferetta centrale posso dire che :
$ V_0=1/(4piepsi_0epsi_r)(q/r_0-q/r_1+q/r_2) $
??
cioè in analogia col caso in cui fosse del vuoto tra le due parti del sistema , invece che un dielettrico , ma non sono sicuro .
Per il calcolo della carica Q ho pensato..dato che mi da il potenziale della sferetta centrale posso dire che :
$ V_0=1/(4piepsi_0epsi_r)(q/r_0-q/r_1+q/r_2) $
??
cioè in analogia col caso in cui fosse del vuoto tra le due parti del sistema , invece che un dielettrico , ma non sono sicuro .
"Algo":
Dunque la calotta sferica sarebbe collegata a un conduttore a potenziale nullo , questo come può aiutarmi a risolvere il problema?
Direi proprio di sì, in quanto conosci la differenza di potenziale fra le due ... armature.
"Algo":
Per il calcolo della carica Q ho pensato..dato che mi da il potenziale della sferetta centrale posso dire che :
$ V_0=1/(4piepsi_0epsi_r)(q/r_0-q/r_1+q/r_2) $
Non capisco da dove arrivi questa relazione, me lo spieghi?
Cioè dal momento che è collegata ad un conduttore a pot . nullo anche il suo stesso potenziale risulta nulla?
Sarebbe la formula per il calcolo del potenziale di una sfera (con carica Q) all'interno do una calotta sferica , separate dal vuoto (nel libro è riportata infatti senza quella costante dielettrica relativa).. io ce l'ho aggiunta in maniera arbitraria e a quanto pare errata ...anche perchè non ho considerato le cariche di polarizzazione del dielettrico , scemo me.
Sarebbe la formula per il calcolo del potenziale di una sfera (con carica Q) all'interno do una calotta sferica , separate dal vuoto (nel libro è riportata infatti senza quella costante dielettrica relativa).. io ce l'ho aggiunta in maniera arbitraria e a quanto pare errata ...anche perchè non ho considerato le cariche di polarizzazione del dielettrico , scemo me.
"Algo":
Cioè dal momento che è collegata ad un conduttore a pot . nullo anche il suo stesso potenziale risulta nulla?
Certo.
Scusa, ma ora, senza andare a farla tanto difficile, non è che quella configurazione possa essere vista come un condensatore carico con carica Q e tensione V0?
Ok il fatto è che , mio malgrado , non credo di aver capito il perchè posso considerare il sistema come dici tu : nel senso , io nella mia testa me lo sono spiegato così ... se il potenziale a terra è nullo ,le cariche sulla sup esterna sono spinte a scendere la ddp , o meglio a "scaricarsi" anche loro , quindi il pot della sup esterna è considerabile nullo . E' corretto secondo te? Se non lo è , potresti rispiegarmi concettualmente perchè posso considerarlo come dici?
Comunque , con il tuo suggerimento , posso risolvere così?
$ C=Q/(DeltaV)=4piepsi_0epsi_r((r_0r_1)/(r_1-r_0)) $
$ Q=4piepsi_0epsi_r((r_0r_1)/(r_1-r_0))V_0 $
$ U=Q^2/(2C)=(QV_0)/2 $
Comunque , con il tuo suggerimento , posso risolvere così?
$ C=Q/(DeltaV)=4piepsi_0epsi_r((r_0r_1)/(r_1-r_0)) $
$ Q=4piepsi_0epsi_r((r_0r_1)/(r_1-r_0))V_0 $
$ U=Q^2/(2C)=(QV_0)/2 $
"Algo":
... io nella mia testa me lo sono spiegato così ... se il potenziale a terra è nullo ,le cariche sulla sup esterna sono spinte a scendere la ddp , o meglio a "scaricarsi" anche loro , quindi il pot della sup esterna è considerabile nullo . E' corretto secondo te?
Certo, è proprio così; quando vai a fornire la carica Q alla sfera interna, senza collegamento a terra, sul guscio esterno verrebbe ad indursi una carica -Q sulla superficie interna e una carica +Q su quella esterna, mentre con il collegamento a terra la carica +Q va a disperdersi nella terrà e il potenziale del guscio viene a portarsi allo stesso potenziale nullo della terra.
"Algo":
... posso risolvere così?
Certo che sì.
Geniale!!
Una cosa .. è normale che non mi sia servito un dato fornito dal testo? cioè il raggio della sup esterna? (R_2 per intenderci xD)
Una cosa .. è normale che non mi sia servito un dato fornito dal testo? cioè il raggio della sup esterna? (R_2 per intenderci xD)
Certo, quell'R2 era messo lì solo per farti fare confusione, come anche l'uso del termine "calotta sferica", se così sta scritto nel testo. 
Dunque riesumo questo post per un chiarimento generale su questa tipologia di esercizi...
se io avessi avuto un condensatore sferico , stavolta non collegato a terra , e stavolta avente dielettrico non fra le armature , ma costituente un'armatura stessa . Cioè , la famosa calotta sferica stavolta è fatta di materiale dielettrico , mentre fra le due armature c'è il vuoto . Se in questo caso mi si chiedesse potenziale del condensatore ed energia immagazzinata , potrei procedere in modo analogo a quanto fatto prima? Cioè sfruttando la formula per la capacità di un condensatore sferico con dielettrico?
Cioè , il fatto che il dielettrico non sia più fra le armature , ma sia il materiale di cui è fatta una di esse , cambia la situazione in modo notevole?
Io , d'istinto , procederei sempre uguagliando definizione di capacità e capacità di un condensatore sferico con dielettrico , come fatto sopra , quindi mi troverei il potenziale totale del condensatore , e lo userei per il calcolo dell'energia totale immagazzinata .
se io avessi avuto un condensatore sferico , stavolta non collegato a terra , e stavolta avente dielettrico non fra le armature , ma costituente un'armatura stessa . Cioè , la famosa calotta sferica stavolta è fatta di materiale dielettrico , mentre fra le due armature c'è il vuoto . Se in questo caso mi si chiedesse potenziale del condensatore ed energia immagazzinata , potrei procedere in modo analogo a quanto fatto prima? Cioè sfruttando la formula per la capacità di un condensatore sferico con dielettrico?
Cioè , il fatto che il dielettrico non sia più fra le armature , ma sia il materiale di cui è fatta una di esse , cambia la situazione in modo notevole?
Io , d'istinto , procederei sempre uguagliando definizione di capacità e capacità di un condensatore sferico con dielettrico , come fatto sopra , quindi mi troverei il potenziale totale del condensatore , e lo userei per il calcolo dell'energia totale immagazzinata .
Le armature di un condensatore sono sempre costituite da due conduttori.
Uh quindi non andrebbe più trattato in quel modo? Non essendo più un'armatura un conduttore ...in effetti ho fatto un errore di scrittura ...se avessi una sfera metallica interna ad una calotta di dielettrico , era questa la dicitura esatta ..non "condensatore sferico" . Quindi come lo tratto?
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