Condensatore: proporzionalità tra correnti al suo interno

[raff5184]

Ciao a tutti,
breve e semplice quesito di fisica.

E' dato un condensatore piano fatto di due dischi paralleli di raggio $R$ al quale è applicata una tensione sinusoidale. Trascurare gli effetti di bordo.

Dovendo trovare i valori del campo magnetico (tra le piastre) in $R$ e in un punto a distanza radiale $r Il mio dubbio è che risulta che la corrente usata per trovare $B$ in $r$ vale:
$i_r=i_R*(r/R)^2$
ma non capisco perché. Avevo pensato che questa proporzionalità provenisse dalle aree:
$2piR^2i_r=2pir^2i_R$ ma ha senso?

[RenzoDF]

Certo, supponendo trascurabili gli effetti ai bordi, come necessario se non si vuole andare a complicare terribilmente il problema, il campo elettrico fra le armature sarà costante e di conseguenza anche la densità della corrente di spostamento $\sigma_S$ ; notando poi che, per la simmetria del problema, le linee di forza del campo magnetico saranno circolari e centrate sull'asse del condensatore, detto campo sarà funzione di $r$ e si potrà andare a calcolare il suo valore determinando la corrente di spostamento concatenata a detta linea di forza via Ampere-Maxwell.

Visto che la totale corrente di spostamento $i_S(R)$ deve essere pari a quella di conduzione $i_C$, il valore della sua densità superficiale $\sigma_S$ sarà semplicemente dato dal rapporto fra corrente di conduzione e superficie totale dell'armatura

$\sigma_{S}=\frac{i_{C}}{2\pi R^2}\qquad \rightarrow \qquad i_{S}(r)=S\sigma_S= \frac{r^2}{R^2}i_C$

La geometria è la seguente

[fcd="fig.1"][FIDOCAD]
FJC L 4 -16711885 1.0
FJC L 6 -6697729 0.39
FJC L 7 -3355444 0.56
FJC L 8 -10066330 1.0
FJC A 0.4
FJC B 0.4
LI 93 111 93 90 0
EV 125 90 65 70 0
LI 93 15 93 50 0
LI 115 50 115 80 0
FCJ 0 0 3 2 1 0
LI 75 50 75 80 0
FCJ 0 0 3 2 1 0
EV 75 45 115 55 0
FCJ 1 0
EV 75 75 115 85 0
FCJ 1 0
LI 97 111 97 90 0
LI 95 50 95 80 0
FCJ 0 0 3 1 4 0
MC 100 25 1 0 074
EV 93 14 97 16 0
LI 97 15 97 50 0
EV 93 49 97 51 0
EV 97 112 93 110 0
EV 65 40 125 60 0
LI 125 51 125 80 0
FCJ 0 0 2 1 3 0
EV 75 55 115 65 0
LI 115 61 108 66 1
FCJ 2 0 2 1 0 0
TY 104 65 4 3 0 1 1 * B
LI 115 61 115 69 2
FCJ 2 0 3 1 0 0
TY 103 22 4 3 0 1 2 * ic(t)
TY 117 64 4 3 0 1 2 * E
LI 95 80 115 80 2
FCJ 2 0 2 1 0 0
TY 102 75 4 3 0 1 2 * r
LI 95 50 125 50 3
FCJ 2 0 2 1 0 0
TY 116 44 4 3 0 1 3 * R
LI 65 51 65 80 4
FCJ 0 0 2 1 1 0
TY 68 61 4 3 0 1 4 * h
EP 75 55 115 65 7
FCJ 1 0
TY 78 63 4 3 0 1 14 * l
TY 86 59 4 3 0 1 14 * S[/fcd]
E' interessante vedere dove "punta" il prodotto vettoriale $\vec{E}\times \vec{B}$.