Condensatore piano con tensione variabile nel tempo
Alle armature circolari di un condensatore piano di raggio $R$ e distanza tra le armature $d$ è applicata una tensione \(\displaystyle V=V_0\sin(\omega t) \). Trascurando gli effetti di bordo e utilizzando un sistema di coordinate cilindriche, determinare:
(a) il vettore di induzione magnetica \(\displaystyle \mathbf{B} \) e il vettore di Poynting \(\displaystyle \mathbf{S} \) all'interno del condensatore.
Riscrivo in forma integrale l'equazione di Maxwell \(\displaystyle \text{rot }\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J}+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} \), e ottengo \[\displaystyle \oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=\mu_0I_c+\mu_0\epsilon_0\int\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\cdot d\mathbf{a}. \] Siccome non ci sono correnti concatenate, il primo termine è nullo. Per il secondo, calcolo il campo elettrico dal potenziale: \[\displaystyle \mathbf{E}=V/d=\frac{V_0}{d}\sin(\omega t) \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}=\frac{V_0}{d}\omega\cos(\omega t), \] quindi prendendo come anello amperiano una circonferenza di raggio $r$, si ha all'interno del condensatore \[\displaystyle B2\pi r=\mu_0\epsilon_0\int\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\cdot d\mathbf{a}=\mu_0\epsilon_0\frac{V_0}{d}\omega\cos(\omega t)\pi r^2 \quad \Rightarrow \quad \mathbf{B}=\frac{1}{2}\mu_0\epsilon_0\frac{V_0}{d}\omega\cos(\omega t)r\mathbf{e}_\theta \] Prima di proseguire vorrei chiedervi se il procedimento è corretto fino a questo punto...
(a) il vettore di induzione magnetica \(\displaystyle \mathbf{B} \) e il vettore di Poynting \(\displaystyle \mathbf{S} \) all'interno del condensatore.
Riscrivo in forma integrale l'equazione di Maxwell \(\displaystyle \text{rot }\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J}+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} \), e ottengo \[\displaystyle \oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=\mu_0I_c+\mu_0\epsilon_0\int\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\cdot d\mathbf{a}. \] Siccome non ci sono correnti concatenate, il primo termine è nullo. Per il secondo, calcolo il campo elettrico dal potenziale: \[\displaystyle \mathbf{E}=V/d=\frac{V_0}{d}\sin(\omega t) \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}=\frac{V_0}{d}\omega\cos(\omega t), \] quindi prendendo come anello amperiano una circonferenza di raggio $r$, si ha all'interno del condensatore \[\displaystyle B2\pi r=\mu_0\epsilon_0\int\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\cdot d\mathbf{a}=\mu_0\epsilon_0\frac{V_0}{d}\omega\cos(\omega t)\pi r^2 \quad \Rightarrow \quad \mathbf{B}=\frac{1}{2}\mu_0\epsilon_0\frac{V_0}{d}\omega\cos(\omega t)r\mathbf{e}_\theta \] Prima di proseguire vorrei chiedervi se il procedimento è corretto fino a questo punto...
Risposte
Sí, è corretto.
Anche se personalmente avrei seguito la strada della relazione costitutiva del condensatore.
Anche se personalmente avrei seguito la strada della relazione costitutiva del condensatore.
Ciao, cosa intendi con relazione costitutiva?
Comunque proseguo: il vettore di Poynting a questo punto è \[\displaystyle \mathbf{S}=\frac{1}{\mu}\mathbf{E}\times\mathbf{B}=\frac{1}{\mu}\det\begin{bmatrix}\mathbf{e}_r & \mathbf{e}_\theta & \mathbf{e}_z \\ 0 & 0 & \frac{V_0}{d}\sin(\omega t) \\ 0 & \frac{1}{2}\mu_0\epsilon_0\frac{V_0}{d}\omega\cos(\omega t)r\mathbf{e}_\theta & 0\end{bmatrix}=-\frac{1}{2}\mu_0\omega\frac{V_0^2}{d^2}\sin(\omega t)\cos(\omega t)r\mathbf{e}_r. \] (b) Il valore del flusso totale attraverso la superfici che delimita il condensatore dall'istante $t=0$ all'istante \(\displaystyle t=T/4 \).
Allora, non sono sicuro di quale sia il procedimento corretto qui... Il flusso di energia corrisponde all'integrale di superficie del vettore di Poynting, giusto? Quindi per ottenere il risultato dovrei integrare ulteriormente nel tempo. Dovrei fare una roba così: \[\displaystyle \Phi=\int_{0}^{T/4}\left[\int_{\mathcal{S}}\mathbf{S}\cdot\mathbf{e}_n dS\right]dt \] Però a questo punto non mi torna una cosa. In questo modo mi esce che il flusso è nullo per la parte superiore e inferiore del cilindro, dato che il vettore di Poynting è puramente radiale, quindi dovrei parametrizzare la superficie laterale del cilindro. Mi sembra strana come cosa, ci sono errori nei miei conti?
Comunque proseguo: il vettore di Poynting a questo punto è \[\displaystyle \mathbf{S}=\frac{1}{\mu}\mathbf{E}\times\mathbf{B}=\frac{1}{\mu}\det\begin{bmatrix}\mathbf{e}_r & \mathbf{e}_\theta & \mathbf{e}_z \\ 0 & 0 & \frac{V_0}{d}\sin(\omega t) \\ 0 & \frac{1}{2}\mu_0\epsilon_0\frac{V_0}{d}\omega\cos(\omega t)r\mathbf{e}_\theta & 0\end{bmatrix}=-\frac{1}{2}\mu_0\omega\frac{V_0^2}{d^2}\sin(\omega t)\cos(\omega t)r\mathbf{e}_r. \] (b) Il valore del flusso totale attraverso la superfici che delimita il condensatore dall'istante $t=0$ all'istante \(\displaystyle t=T/4 \).
Allora, non sono sicuro di quale sia il procedimento corretto qui... Il flusso di energia corrisponde all'integrale di superficie del vettore di Poynting, giusto? Quindi per ottenere il risultato dovrei integrare ulteriormente nel tempo. Dovrei fare una roba così: \[\displaystyle \Phi=\int_{0}^{T/4}\left[\int_{\mathcal{S}}\mathbf{S}\cdot\mathbf{e}_n dS\right]dt \] Però a questo punto non mi torna una cosa. In questo modo mi esce che il flusso è nullo per la parte superiore e inferiore del cilindro, dato che il vettore di Poynting è puramente radiale, quindi dovrei parametrizzare la superficie laterale del cilindro. Mi sembra strana come cosa, ci sono errori nei miei conti?
"Nagato":
... cosa intendi con relazione costitutiva?
Intendo
$i(t)=C(\text{d}v(t))/(\text{d}t)$
"Nagato":
... Comunque proseguo: il vettore di Poynting a questo punto è ...
Capisco che in H-demia sia necessario mantenere la "forma" ma, vista la "normalità" dei due vettori, direi che in questo caso bastava un semplice prodotto.
"Nagato":
... Il flusso di energia corrisponde all'integrale di superficie del vettore di Poynting, giusto? ...
Giusto.
"Nagato":
... Quindi per ottenere il risultato dovrei integrare ulteriormente nel tempo. ...
Esatto.
"Nagato":
... Però a questo punto non mi torna una cosa. In questo modo mi esce che il flusso è nullo per la parte superiore e inferiore del cilindro, ...
Non vedo perché dovrebbe, il vettore di Poynting in ogni generico istante t assume, su tutti i punti della superficie cilindrica che delimita il condensatore, lo stesso valore, di conseguenza per il flusso energetico istantaneo basterà ancora una volta un semplice prodotto, fra il suo modulo e $2\piRd$, non credi?
Anche per rispondere a quest'ultima richiesta, visto il particolare intervallo temporale, avrei però seguito una diversa e più semplice strada.
"Nagato":
... ci sono errori nei miei conti?
Direi ci sia solo un errore di battitura nella relazione finale di S, dove scrivi $\mu_0$ invece che $\epsilon_0$.
Ciao, grazie per la risposta e scusa il ritardo. Quindi nel complesso \[\displaystyle \Phi=\int_{0}^{T/4}\left[\int_{\mathcal{S}}\mathbf{S}\cdot\mathbf{e}_n dS\right]dt=-\epsilon_0\omega\frac{\pi V_0^2dR^2}{d^2}\int_{0}^{T/4}\sin(\omega t)\cos(\omega t)dt \ \mathbf{e}_r= \frac{-\epsilon_0\pi V_0^2R^2}{2d}\sin^2(\omega T/4)\mathbf{e}_r. \] C'è un ultimo punto in cui mi si chiede di calcolare la fem indotta in una spira di altezza $h$ e base $R$ posta con il lato minore sull'asse del condensatore, calcolandone il valore a \(\displaystyle t=T/2 \).
L'ho calcolata in questo modo: \[\displaystyle \varphi_S(\mathbf{B})=\frac{1}{2}\mu_0\epsilon_0\frac{V_0}{d}\omega\cos(\omega t)\left(\int_0^Rrdr\right)\left(\int_0^h dz\right)=\frac{1}{2}\mu_0\epsilon_0\frac{R^2V_0h}{2d}\omega\cos(\omega t) \\ \Rightarrow \mathcal{E}=-\frac{d}{dt}\varphi_S(\mathbf{B})=\frac{1}{2}\mu_0\epsilon_0\frac{R^2V_0h}{2d}\omega^2\sin(\omega t). \] Spero sia tutto a posto!
L'ho calcolata in questo modo: \[\displaystyle \varphi_S(\mathbf{B})=\frac{1}{2}\mu_0\epsilon_0\frac{V_0}{d}\omega\cos(\omega t)\left(\int_0^Rrdr\right)\left(\int_0^h dz\right)=\frac{1}{2}\mu_0\epsilon_0\frac{R^2V_0h}{2d}\omega\cos(\omega t) \\ \Rightarrow \mathcal{E}=-\frac{d}{dt}\varphi_S(\mathbf{B})=\frac{1}{2}\mu_0\epsilon_0\frac{R^2V_0h}{2d}\omega^2\sin(\omega t). \] Spero sia tutto a posto!
Non esattamente. 
... just a typo!
... ma ti consiglio di semplificare quel seno quadro, ... così capirai a quale "scorciatoia" facevo riferimento.
-----------------------------------------------------------------
BTW A questo punto però ti chiedo: ma se la fem, ovvero la circuitazione del campo elettrico su un percorso rettangolare con un lato sull'asse, altezza $h=d$ e base pari al generico raggio $r$, non è nulla [nota]Ed è chiaro che ipotizzando le armature perfettamente conduttive, tale circuitazione si ridurrà all'integrale di linea sui due soli lati verticali, ovvero \((E(0)-E(r))d\).[/nota] (come hai dimostrato), allora non possiamo più considerare il campo elettrico uniforme internamente al condensatore e di conseguenza sarà tutto da rifare ..., non credi?
... just a typo!
... ma ti consiglio di semplificare quel seno quadro, ... così capirai a quale "scorciatoia" facevo riferimento.
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BTW A questo punto però ti chiedo: ma se la fem, ovvero la circuitazione del campo elettrico su un percorso rettangolare con un lato sull'asse, altezza $h=d$ e base pari al generico raggio $r$, non è nulla [nota]Ed è chiaro che ipotizzando le armature perfettamente conduttive, tale circuitazione si ridurrà all'integrale di linea sui due soli lati verticali, ovvero \((E(0)-E(r))d\).[/nota] (come hai dimostrato), allora non possiamo più considerare il campo elettrico uniforme internamente al condensatore e di conseguenza sarà tutto da rifare ..., non credi?
Ok, mi hai messo in crisi 
Tralasciando il fatto che non vedo né il typo né la scorciatoia
il calcolo del flusso si basa su quello del campo magnetico ottenuto da quello elettrico, a sua volta ottenuto dall'assunzione che sia uniforme il campo nel condensatore... mi fa venire in mente la famosa contraddizione del condensatore a facce piane tutto questo!
Tralasciando il fatto che non vedo né il typo né la scorciatoia
il calcolo del flusso si basa su quello del campo magnetico ottenuto da quello elettrico, a sua volta ottenuto dall'assunzione che sia uniforme il campo nel condensatore... mi fa venire in mente la famosa contraddizione del condensatore a facce piane tutto questo!
"Nagato":
... non vedo né il typo né la scorciatoia ...
Controlla la derivata dell'ultima riga per il calcolo della fem nella quale, per essere precisi, ce n'è più d'uno.
"Nagato":
... né la scorciatoia ...
Se non segui i consigli che ti do, sarà difficile vederla.
... e ti chiedo: dove va a finire quel flusso energetico
Ok ok dovrei aver sistemato! Per il flusso, non saprei... forse c'entra la corrente di spostamento?
Ok per la fem.
Per l'energia passante nel quarto di periodo, ti bastava notare che quel seno è unitario, di conseguenza è facile riscrivere la tua relazione come
$\Phi=1/2CV_0^2$
... che forse ti ricorda "qualcosa", no
Ecco la "scorciatoia" della quale ti parlavo; il flusso del vettore di Poynting attraverso la superficie laterale del cilindro che delimita il condensatore, non è altro che il flusso di energia scambiata con lo spazio esterno, che va a caricare o scaricare il condensatore.
Questo, ti permetteva di determinare l'energia transitata andando ad osservare che per t=0 la tensione è nulla, mentre per t=T/4 è massima .
Per quanto riguarda la disuniformita del campo elettrico, si dimostra che, pur essendo presente, è trascurabile se (come normalmente avviene) esiste una particolare relazione d'ordine fra frequenza e raggio d'armatura, così come, nelle stesse ipotesi, è trascurabile l'energia magnetica accumulata all'interno del condensatore, rispetto a quella elettrostatica [nota]Se nei prossimi giorni ho un po' di tempo da perdere, posto i dettagli ... per i più "curiosi"[/nota].
Per l'energia passante nel quarto di periodo, ti bastava notare che quel seno è unitario, di conseguenza è facile riscrivere la tua relazione come
$\Phi=1/2CV_0^2$
... che forse ti ricorda "qualcosa", no
Ecco la "scorciatoia" della quale ti parlavo; il flusso del vettore di Poynting attraverso la superficie laterale del cilindro che delimita il condensatore, non è altro che il flusso di energia scambiata con lo spazio esterno, che va a caricare o scaricare il condensatore.
Questo, ti permetteva di determinare l'energia transitata andando ad osservare che per t=0 la tensione è nulla, mentre per t=T/4 è massima .
Per quanto riguarda la disuniformita del campo elettrico, si dimostra che, pur essendo presente, è trascurabile se (come normalmente avviene) esiste una particolare relazione d'ordine fra frequenza e raggio d'armatura, così come, nelle stesse ipotesi, è trascurabile l'energia magnetica accumulata all'interno del condensatore, rispetto a quella elettrostatica [nota]Se nei prossimi giorni ho un po' di tempo da perdere, posto i dettagli ... per i più "curiosi"
[/nota].
Perfetto. Grazie mille per i tuoi post! 
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