Condensatore Piano
Salve continua la maratona dell'elettromagnetismo...
Ho un condensatore piano formato da due lamine di conduttori posti orizzontalmente, tra i due conduttori ci metto una lamina conduttrice di spessore trascurabile e massa $m$ e area $S$ uguale alla superficie delle armature a distanza $d$ da quella inferiore e ha un potenziale $V$
La capacità del condensatore è $C$ inoltre l'armatura inferiore a potenziale $0$ quella superiore ha potenziale $V_0$.
Trovare il valore di $V$, cioè il potenziale dell'armatura superiore, affinchè la lamina sia in equilibrio (che equivale a dire che rimane sospesa nell'aria).
Il problema appena l'ho letto mi ha spaventato poi usando un pò di dinamica mi è sembrato abbastanza fattibile apparte un piccolo problema teorico...
Allora è abbastanza semplice capire che per risolverlo devo dire che la forza dell'armatura superiore più la forza peso della lamina deve essere uguale a quella della forza esercitata dall'armatura inferiore sulla lamina.
Ora devo trovarmi il $F_1$ e $F_2$ in funzione dei dati che mi vengono dati.
Il lavoro per definizione è l'integrale della forza lungo la traittoria, quindi la forza sarà il lavoro infinitesimo lungo la traittoria:
$F=(dL)/dx$ a questo punto mi ricordo il legame tra lavoro ed energia potenziale $(dL)/dx=d(1/2*epsilon_0 E^2* Volume)/dx=d(1/2*epsilon_0 E^2* Superficie* x)dx=1/2*epsilon_0 E^2* Superficie$
Ricordando la definizione di capacità $Q=CV$, quello di di capacità di un condensatore piano $C=epsilon_0 A/d$ ed infine il fatto che $E=sigma/epsilon_0$ ottengo che
$F=1/2*epsilon_0*V^2/d^2* Superficie$
Questa era la forza esercitata dell'armatura inferiore.
In modo det tutto analogo si fa con quella superiore.
Rimane ora una perplessità sul verso di $F_1$ e $F_2$.
Come posso affermare con sicurezza che l'armatura in alto esercita una forza verso il basso e l'armatura in basso una forza verso l'alto?
Grazie in anticipo.
Ho un condensatore piano formato da due lamine di conduttori posti orizzontalmente, tra i due conduttori ci metto una lamina conduttrice di spessore trascurabile e massa $m$ e area $S$ uguale alla superficie delle armature a distanza $d$ da quella inferiore e ha un potenziale $V$
La capacità del condensatore è $C$ inoltre l'armatura inferiore a potenziale $0$ quella superiore ha potenziale $V_0$.
Trovare il valore di $V$, cioè il potenziale dell'armatura superiore, affinchè la lamina sia in equilibrio (che equivale a dire che rimane sospesa nell'aria).
Il problema appena l'ho letto mi ha spaventato poi usando un pò di dinamica mi è sembrato abbastanza fattibile apparte un piccolo problema teorico...
Allora è abbastanza semplice capire che per risolverlo devo dire che la forza dell'armatura superiore più la forza peso della lamina deve essere uguale a quella della forza esercitata dall'armatura inferiore sulla lamina.
Ora devo trovarmi il $F_1$ e $F_2$ in funzione dei dati che mi vengono dati.
Il lavoro per definizione è l'integrale della forza lungo la traittoria, quindi la forza sarà il lavoro infinitesimo lungo la traittoria:
$F=(dL)/dx$ a questo punto mi ricordo il legame tra lavoro ed energia potenziale $(dL)/dx=d(1/2*epsilon_0 E^2* Volume)/dx=d(1/2*epsilon_0 E^2* Superficie* x)dx=1/2*epsilon_0 E^2* Superficie$
Ricordando la definizione di capacità $Q=CV$, quello di di capacità di un condensatore piano $C=epsilon_0 A/d$ ed infine il fatto che $E=sigma/epsilon_0$ ottengo che
$F=1/2*epsilon_0*V^2/d^2* Superficie$
Questa era la forza esercitata dell'armatura inferiore.
In modo det tutto analogo si fa con quella superiore.
Rimane ora una perplessità sul verso di $F_1$ e $F_2$.
Come posso affermare con sicurezza che l'armatura in alto esercita una forza verso il basso e l'armatura in basso una forza verso l'alto?
Grazie in anticipo.
Risposte
intanto brava per essere arrivata fin qua.
ti ricordo in primo luogo che dL = -dU, dunque devi cambiare il segno a quello che hai scritto. per seconda cosa, quelli che ottieni con le derivate sono (coordinate di) vettori (ciò si intuisce dalla relazione $F = -gradU$), quindi basta semplicemente che fai la somma algebrica per ottenere la forza totale esercitata dalle piastre del condensatore.
non ti deve interessare di come sono rivolte F1 ed F2, ma semplicemente del fatto che la loro somma deve essere uguale in modulo e contraria in verso alla forza di gravità esercitata sulla massa m.
ti ricordo in primo luogo che dL = -dU, dunque devi cambiare il segno a quello che hai scritto. per seconda cosa, quelli che ottieni con le derivate sono (coordinate di) vettori (ciò si intuisce dalla relazione $F = -gradU$), quindi basta semplicemente che fai la somma algebrica per ottenere la forza totale esercitata dalle piastre del condensatore.
non ti deve interessare di come sono rivolte F1 ed F2, ma semplicemente del fatto che la loro somma deve essere uguale in modulo e contraria in verso alla forza di gravità esercitata sulla massa m.
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