Condensatore piano
Ciao, non ho ben chiaro perché non va bene il mio procedimento!!
Un condensatore piano, con armature quadrate di area $ Sigma $ distanti $ d $, è riempito per metà di mica $ kappa_1 $ e per metà di paraffina $ kappa_2 $. Calcolare:
a) la capacità C del condensatore
Se tra le armature del condensatore viene applicata una differenza di potenziale V, calcolare:
b) il campo elettrostatico E
c) la carica q
d) l'energia elettrostatica $U_e$ del sistema
Allora io ho risolto così:
a) la capacità è data dalla somma delle capacità delle due parti del condensatore:
\( C=C_1+C_2=\frac{\varepsilon _o \Sigma_1 \kappa _1}{d}+ \frac{\varepsilon _o \Sigma_2 \kappa _1}{d}=\frac{\varepsilon _o \Sigma\kappa _1}{2d}+\frac{\varepsilon _o \Sigma\kappa _2}{2d}=\frac{\varepsilon _o \Sigma}{2d}(\kappa _1+\kappa _2) \)
b) Lo stesso ragionamento ho fatto per il campo!
Il campo generalmente, in presenza di isolante è dato da: \( E=\frac{V_\kappa}{d}=\frac{ \frac{V_o}{\kappa} }{d}=\frac{V_o}{\kappa d} \) Perciò: \( E=E_1+E_2=\frac{V_o}{\kappa_1 d}+\frac{V_o}{\kappa_2 d}=\frac{V_o}{d}(\frac{1}{\kappa_1}+\frac{1}{\kappa_2}) \)
c) lo stesso ragionamento avevo esteso alle cariche considerando che nelle due zone (rispettivamente con i due materiali) avessero un potenziale "locale" diverso da quello imposto..
Guardando le soluzioni ho visto che al punto b) e c) ho sbagliato!! Qualcuno può spiegarmi perché? Che cosa avrei dovuto fare?
Grazie in anticipo!!
Un condensatore piano, con armature quadrate di area $ Sigma $ distanti $ d $, è riempito per metà di mica $ kappa_1 $ e per metà di paraffina $ kappa_2 $. Calcolare:
a) la capacità C del condensatore
Se tra le armature del condensatore viene applicata una differenza di potenziale V, calcolare:
b) il campo elettrostatico E
c) la carica q
d) l'energia elettrostatica $U_e$ del sistema
Allora io ho risolto così:
a) la capacità è data dalla somma delle capacità delle due parti del condensatore:
\( C=C_1+C_2=\frac{\varepsilon _o \Sigma_1 \kappa _1}{d}+ \frac{\varepsilon _o \Sigma_2 \kappa _1}{d}=\frac{\varepsilon _o \Sigma\kappa _1}{2d}+\frac{\varepsilon _o \Sigma\kappa _2}{2d}=\frac{\varepsilon _o \Sigma}{2d}(\kappa _1+\kappa _2) \)
b) Lo stesso ragionamento ho fatto per il campo!
Il campo generalmente, in presenza di isolante è dato da: \( E=\frac{V_\kappa}{d}=\frac{ \frac{V_o}{\kappa} }{d}=\frac{V_o}{\kappa d} \) Perciò: \( E=E_1+E_2=\frac{V_o}{\kappa_1 d}+\frac{V_o}{\kappa_2 d}=\frac{V_o}{d}(\frac{1}{\kappa_1}+\frac{1}{\kappa_2}) \)
c) lo stesso ragionamento avevo esteso alle cariche considerando che nelle due zone (rispettivamente con i due materiali) avessero un potenziale "locale" diverso da quello imposto..
Guardando le soluzioni ho visto che al punto b) e c) ho sbagliato!! Qualcuno può spiegarmi perché? Che cosa avrei dovuto fare?
Grazie in anticipo!!
Risposte
Quando dice "riempito per metà", non è per niente chiaro cosa vuol dire.
Può essere: metà delle armature ha in mezzo la mica, l'altra metà la paraffina (come l'hai intesa tu), oppure
l'intervallo fra le armature è riempito con due strati, di spessore metà, uno di mica e uno di paraffina.
Personalmente l'avrei immaginato così, però, se il punto a) ti viene giusto (in sostanza hai visto il sistema come due condensatori, di ampiezza metà, in parallelo), allora si vede che così va inteso.
Ma, se è così, i due condensatori hanno la stessa differenza di potenziale e la stessa distanza fra le armature, allora il campo è $V/d$, isolante o no, e i campi nelle due metà (fra l'altro uguali) certo non si sommano
Può essere: metà delle armature ha in mezzo la mica, l'altra metà la paraffina (come l'hai intesa tu), oppure
l'intervallo fra le armature è riempito con due strati, di spessore metà, uno di mica e uno di paraffina.
Personalmente l'avrei immaginato così, però, se il punto a) ti viene giusto (in sostanza hai visto il sistema come due condensatori, di ampiezza metà, in parallelo), allora si vede che così va inteso.
Ma, se è così, i due condensatori hanno la stessa differenza di potenziale e la stessa distanza fra le armature, allora il campo è $V/d$, isolante o no, e i campi nelle due metà (fra l'altro uguali) certo non si sommano
Mi scuso per l'ambiguità, avrei dovuto mettere l'immagine!
Non capisco perché il campo e il potenziale è uguale a prescindere dai materiali..
"mgrau":
Ma, se è così, i due condensatori hanno la stessa differenza di potenziale e la stessa distanza fra le armature, allora il campo è Vd, isolante o no, e i campi nelle due metà (fra l'altro uguali) certo non si sommano
Non capisco perché il campo e il potenziale è uguale a prescindere dai materiali..
La d.d.p. fra le armature è fissa, no? Il materiale in mezzo modifica solo la capacità, e quindi la carica, ma non la V, che è imposta dall'esterno.
Se poi pensi che V è il lavoro del campo per spostare una carica fra le armature, e quindi,se il lavoro è fisso e la distanza è fissa, anche il campo lo è. In sostanza: se interponi un isolante, il risultato è che una carica maggiore produce lo stesso campo e d.d.p. di prima
Se poi pensi che V è il lavoro del campo per spostare una carica fra le armature, e quindi,se il lavoro è fisso e la distanza è fissa, anche il campo lo è. In sostanza: se interponi un isolante, il risultato è che una carica maggiore produce lo stesso campo e d.d.p. di prima
Aaah ho capito! Però non ho ancora chiaro cosa non va nel mio.. effettivamente la presenza di materiale isolante altera il campo quindi perché non va bene? Dalla teoria ho capito così, cambiano siano V che E che C(capacità).. o questo vale solo le V non è fissa ed è possibile una variazione? Tipo che viene impostata solo una volta e basta?
Se hai due armature cariche, staccata da una batteria, e inserisci l'isolante, V e E diminuiscono (in sostanza le cariche di polarizzazione agiscono come se le cariche sulle armature diminuissero).
Ma se il condensatore è attaccato a una batteria, inserendo l'isolante, la capacità aumenta, affluiscono nuove cariche, fino a che V e E tornano al valore precedente.
Facciamo un esempio numerico, condensatore carico, staccato, e pensiamo solo all'armatura positiva.
Questa ha una carica $Q$, che produce un certo campo $E$ e una DDP $V$.
Inseriamo un isolante con $epsilon = 10$. L'effetto è di ridurre il campo a $E/10$, il che vuol dire che si sono formate cariche di polarizzazione $-9/10Q$, con che la carica netta diventa $E/10$
Attacchiamo il condensatore ad una batteria $V$: la capacità è decuplicata, arriva una nuova carica $9Q$, che così diventa $10Q$ sull'armatura, e $-9Q$ di polarizzazione. La carica netta è ora $Q$, come all'inizio, con gli stessi $E$ e $V$
Ma se il condensatore è attaccato a una batteria, inserendo l'isolante, la capacità aumenta, affluiscono nuove cariche, fino a che V e E tornano al valore precedente.
Facciamo un esempio numerico, condensatore carico, staccato, e pensiamo solo all'armatura positiva.
Questa ha una carica $Q$, che produce un certo campo $E$ e una DDP $V$.
Inseriamo un isolante con $epsilon = 10$. L'effetto è di ridurre il campo a $E/10$, il che vuol dire che si sono formate cariche di polarizzazione $-9/10Q$, con che la carica netta diventa $E/10$
Attacchiamo il condensatore ad una batteria $V$: la capacità è decuplicata, arriva una nuova carica $9Q$, che così diventa $10Q$ sull'armatura, e $-9Q$ di polarizzazione. La carica netta è ora $Q$, come all'inizio, con gli stessi $E$ e $V$
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