Condensatore con dielettrico
Ciao a tutti ho un piccolo problemi di elettrostatica.
Ho un condensatore formato da due lastre parallele poste ad una distanza d costante.
Tra le due lastre viene inserito un materiale dielettrico con costante dielettrica $\varepsilon r$ che occupa un superficie pari a $x$.Invece le lastre hanno una superficie pari ad A.
Devo determinare la capacità del condensatore in funzione della $x$, cioè di quanto materiale dielettrico ho tra le due armature.
Io ho pensato di considerare le due lastre come due condensatori in parallelo, calcolarmi le capacità come se fossero due condensatori diversi, e poi sommarli in modo algebrico.
Però ho un dubbio: infatti non mi basterebbe calcolare la capacità della parte del condensatore senza dielettrico e poi applicare la definizione di costante dielettrica ($\varepsilonr=C/C'$ con $C'$ capacità della parte con dielettrico) per trovare la seconda capacità e farne la somma?
Facendo in entrambi i modi, a meno dei soliti errori di calcolo, non l'es non riesce....dove sbaglio?
Grazie anticipatamente a tutti.
Ho un condensatore formato da due lastre parallele poste ad una distanza d costante.
Tra le due lastre viene inserito un materiale dielettrico con costante dielettrica $\varepsilon r$ che occupa un superficie pari a $x$.Invece le lastre hanno una superficie pari ad A.
Devo determinare la capacità del condensatore in funzione della $x$, cioè di quanto materiale dielettrico ho tra le due armature.
Io ho pensato di considerare le due lastre come due condensatori in parallelo, calcolarmi le capacità come se fossero due condensatori diversi, e poi sommarli in modo algebrico.
Però ho un dubbio: infatti non mi basterebbe calcolare la capacità della parte del condensatore senza dielettrico e poi applicare la definizione di costante dielettrica ($\varepsilonr=C/C'$ con $C'$ capacità della parte con dielettrico) per trovare la seconda capacità e farne la somma?
Facendo in entrambi i modi, a meno dei soliti errori di calcolo, non l'es non riesce....dove sbaglio?
Grazie anticipatamente a tutti.
Risposte
Come hai detto tu, il sistema è equivalente a due condensatori in parallelo, uno che contiene il dielettrico $C_d$ e l'altro che non lo contiene, $C_0$. Quindi per trovare la capacità equivalente basta fare $C_(eq) = C_d + C_0$
Sai che per un condensatore piano $C = frac{epsilon A_(rea)}{d}$, con $epsilon = epsilon_0 epsilon_r$, quindi:
$C_0 = frac{epsilon_0 (A-x)}{d}$, $C_d = frac{epsilon_0 epsilon_r x}{d}$, da cui $C_(eq)$ è immediata.
Il procedimento che hai detto tu, di calcolare il rapporto tra le capacità, non funziona perchè la definizione di costante dielettrica non è quella. O meglio funziona se si mettono a confronto le capacità di un condensatore a vuoto e di uno totalmente riempito di dielettrico, ma è un caso. Per esempio se effettui il rapporto tra due capacità riempite con dielettrici diversi, di costanti $epsilon_1$ ed $epsilon_2$, il rapporto viene $frac{epsilon_1}{epsilon_2}$, diverso da quello che hai detto.
La costante dielettrica in modo più corretto può essere definita nel sistema MKS come la radice quadrata dell'indice di rifrazione del mezzo, o equivalentemente come $1 + chi$, con $chi$ suscettività elettrica. Fammi sapere se ho risolto i tuoi dubbi.
Sai che per un condensatore piano $C = frac{epsilon A_(rea)}{d}$, con $epsilon = epsilon_0 epsilon_r$, quindi:
$C_0 = frac{epsilon_0 (A-x)}{d}$, $C_d = frac{epsilon_0 epsilon_r x}{d}$, da cui $C_(eq)$ è immediata.
Il procedimento che hai detto tu, di calcolare il rapporto tra le capacità, non funziona perchè la definizione di costante dielettrica non è quella. O meglio funziona se si mettono a confronto le capacità di un condensatore a vuoto e di uno totalmente riempito di dielettrico, ma è un caso. Per esempio se effettui il rapporto tra due capacità riempite con dielettrici diversi, di costanti $epsilon_1$ ed $epsilon_2$, il rapporto viene $frac{epsilon_1}{epsilon_2}$, diverso da quello che hai detto.
La costante dielettrica in modo più corretto può essere definita nel sistema MKS come la radice quadrata dell'indice di rifrazione del mezzo, o equivalentemente come $1 + chi$, con $chi$ suscettività elettrica. Fammi sapere se ho risolto i tuoi dubbi.
Ho capito tutto perfettamente quello che hai detto!
Però pur avendo fatto un procedimento analitico uguale a quello che mi hai postato, il risultato fornito dall'esercizio credo sia ancora differente. Almeno, io non riesco a pervenire alla seguente forma facendo semplicemente la somma delle due capacità:
$C_{eq}=\varepsilon_0A/(d(\varepsilon_r(1-x)+x))$
Secondo me è sbagliato. Però, vorrei avere una conferma.
Grazie mille anticipatamente.
Però pur avendo fatto un procedimento analitico uguale a quello che mi hai postato, il risultato fornito dall'esercizio credo sia ancora differente. Almeno, io non riesco a pervenire alla seguente forma facendo semplicemente la somma delle due capacità:
$C_{eq}=\varepsilon_0A/(d(\varepsilon_r(1-x)+x))$
Secondo me è sbagliato. Però, vorrei avere una conferma.
Grazie mille anticipatamente.
Ma secondo me c'è qualcosa che non va in quel risultato, perchè al denominatore compare un $epsilon_r (1-x)$ per esempio, ovvero la sottrazione di due quantità dimensionalmente diverse..già questo mi fa nutrire forti sospetti. E poi metti che $x=0$, ovvero il dielettrico non è presente, il risultato non si riduce a quello aspettato, ovvero $C_(eq) = frac{epsilon_0 A}{d}$ del condensatore vuoto.
Infatti...quindi secondo me si può confermare che quel risultato è del tutto insensato.
Oddio se è scritto su un libro bisogna guardarci molto bene prima di dire che è sbagliato, ma in questo caso direi proprio di si! Ho provato a calcolarla anche facendo la carica totale sulle armature diviso la differenza di potenziale, ma mi viene lo stesso risultato che ho trovato prima..
No...il risultato non è di un libro ma sono degli esercizi forniti dal prof. Quindi...
In ogni caso grazie mille di tutto.
In ogni caso grazie mille di tutto.
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