Condensatore composto da due fili infiniti.

[lishi]

Avrei bisogno di aiuto per il seguente esercizio

Due fili conduttori paralleli lunghi, ciascuno di raggio a, sono alla distanza reciproca di b>>a. e costituiscono le armature di un condensatore.

Dimostrare che la capacità per unità di lunghezza è

$c/l = \frac{\pi \epsilon_0}{ln(a/b)}$

Ecco come lo farei io.

$ \frac{1}{4 \pi \ epsilon_0} \int_a^(b-a)(1/x + 1/(b -x))dx$

(per il contributo del filo carico positivamente + quello carico negativamente)

Solo che

$ \frac{1}{4 \pi \ epsilon_0} \int_a^(b-a)(1/x + 1/(b -x))dx = \frac{1}{4 \pi \ epsilon_0} (ln (b-a) - ln(a) + ln(a) - ln(b-a))$

Che aime fa 0.

Dove ho sbagliato?

EDIT

uhh mi sono dimenticato un pezzo.

Una volta calcolato V uso la relazione $ C = Q / V $ per calcolare la capacità.

[Maurizio Zani]

Parti calcolando il campo elettrico (con Gauss), e poi integra per trovare la differenza di potenziale.

[lishi]

"Maurizio Zani":Parti calcolando il campo elettrico (con Gauss), e poi integra per trovare la differenza di potenziale.

In questo caso avrei

$ q/\epsilon_0 = \int_("cilindro") E ds$

$ E_+ = q/(2\pi\epsilon_0lr) = \lambda/(2\pi\epsilon_0r$

Questo pero solo per il filo di "sotto" ( scelgo quello positivo)

Aggiungo il contributo per altro filo

$E = \lambda/(2\pi\epsilon_0r) + \lambda/(2\pi\epsilon_0(b-r)$

Integrando questo valore pero mi ritrovo nella stessa situazione di prima, adesso provo a rifare i calcoli. Magari ho sbagliato integrale.

[minavagante1]

ciao,
la formula del campo è corretta, solamente che hai due contributi, quindi il campo totale sarà:$E=frac{lambda}{piepsilonor}$. Per trovare la differenza di potenziale integra il campo elettrico $DeltaV=frac{lambda}{piepsilono}int_b^ardr=frac{lambda ln(a/b)}{piepsilono}$ e tramite la relazione $Q=CDeltaV$ con $Q=lambdaL$ trovi il risultato

[lishi]

"lishi":Avrei bisogno di aiuto per il seguente esercizio

Due fili conduttori paralleli lunghi, ciascuno di raggio a, sono alla distanza reciproca di b>>a. e costituiscono le armature di un condensatore.

Dimostrare che la capacità per unità di lunghezza è

$c/l = \frac{\pi \epsilon_0}{ln(a/b)}$

Ecco come lo farei io.

$ \frac{1}{4 \pi \ epsilon_0} \int_a^(b-a)(1/x + 1/(b -x))dx$

(per il contributo del filo carico positivamente + quello carico negativamente)

Solo che

$ \frac{1}{4 \pi \ epsilon_0} \int_a^(b-a)(1/x + 1/(b -x))dx = \frac{1}{4 \pi \ epsilon_0} (ln (b-a) - ln(a) + ln(a) - ln(b-a))$

Che aime fa 0.

Dove ho sbagliato?

EDIT

uhh mi sono dimenticato un pezzo.

Una volta calcolato V uso la relazione $ C = Q / V $ per calcolare la capacità.

Mi sono perso un - durante integrazione della seconda frazione (avevo pure ricontrollato un sacco di volte...)

Riprendendo da

$\lambda = q/l$

$ \frac{\lambda}{4 \pi \ epsilon_0} \int_a^(b-a)(1/x + 1/(b -x))dx = \frac{1}{4 \pi \ epsilon_0} (ln (b-a) - ln(a) - ln(a) + ln(b-a))$

Ottengo
$ (\frac{\lambda}{4 \pi \ epsilon_0) ln((\frac{b-a}{a})^2))$

porto fuori la potenza di due

$(\frac{\lambda}{2 \pi \ epsilon_0) ln(\frac{b-a}{a}))$

Applico la relazione C = Q / V

$ C / l = \frac{2\pi\epsilon_0}{ln((b-a)/a}$

[lishi]

"minavagante":ciao,
la formula del campo è corretta, solamente che hai due contributi, quindi il campo totale sarà:$E=frac{lambda}{piepsilonor}$. Per trovare la differenza di potenziale integra il campo elettrico $DeltaV=frac{lambda}{piepsilono}int_b^ardr=frac{lambda ln(a/b)}{piepsilono}$ e tramite la relazione $Q=CDeltaV$ con $Q=lambdaL$ trovi il risultato

Qua mi viene il dubbio.

In funzione della r il campo non dovrebbe essere ( $ K * (1/r + 1/(b-r))$ ?

In una particolare distanza di r la distanza dal filo positivo e negativo sono diversi.

[minavagante1]

se tu hai cilindro carico, largo quanto vuoi, e tu prendi in considerazione un raggio maggiore del raggio del cilindro, il campo verrà sempre visto (scusa i termini non proprio corretti )come se tutta la carica fosse concetrata sull'asse del cilindro. Come anche se tu consdieri una sfera: se prendi un raggio maggiore del raggio della sfera, sarebbe come avere la carica concetrata nel suo centro.

[lishi]

"minavagante":se tu hai cilindro carico, largo quanto vuoi, e tu prendi in considerazione un raggio maggiore del raggio del cilindro, il campo verrà sempre visto (scusa i termini non proprio corretti )come se tutta la carica fosse concetrata sull'asse del cilindro. Come anche se tu consdieri una sfera: se prendi un raggio maggiore del raggio della sfera, sarebbe come avere la carica concetrata nel suo centro.

Intendevo :

Prendiamo un esempio numerico.

Poniamo che la distanza tra i fili sia di 10.

in un punto b distante 3 mm da uno dei due fili avremo che E è $ \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon} *(1/3 + 1/7) $

Quindi il campo non sarà $E=\lambda/(\pi\epsilon_0r$

A differenza di un condensatore piano dove E non dipende da r non penso che raddoppiare i contributi non basti. (pero facendo due conti la soluzione da te proposta da il risultato corretto).

[minavagante1]

che idiot,l'ho fatto dal centro scusami non dirò più niente

[lishi]

"minavagante":#-o che idiot,l'ho fatto dal centro scusami non dirò più niente

Mi sa che pero il prof che ha redatto questa prova ha fatto lo stesso errore ,

Edit

anzi no. Rimane sempre un $ln( b-a) / a)$ invece di $ln(b/a)$