Concetto di pressione
Ciao ragazzi, guardando un problema su una fontana che spruzza acqua verticalmente (come quella a Ginevra, in Svizzera) mi è venuto un dubbio durante l’applicazione di Bernoulli. Cerco di spiegarmi nel modo migliore possibile.
Se considero come punto 1 il punto in cui esce l’acqua dall’ugello (ad altezza zero) e come punto 2 il punto in cui l’acqua raggiunge la massima altezza (h) e applico Bernoulli fra questi due punti ottengo:
$ Patm+(1/2)rho*v^2=Patm+rho*gh $
ma noi abbiamo scritto Bernoulli come P+1/2*rho*v^2+rho*g*h=costante, in cui P indica la pressione.
Ma andando a vedere Bernoulli applicato ai punti 1 e 2 mi risulta che la pressione è in entrambi i casi quella atmosferica, non sono riuscito bene a comprendere questa cosa.
Nel senso che se io immaginassi di porre la mia mano sopra il getto d’acqua subito dopo l’ugello otterrei “una spinta” molto maggiore rispetto al caso in cui ponessi la mia mano sopra il getto d’acqua nel punto più alto. la mia domanda è quindi: perchè questa “apparente discrepanza” (probabilmente data da una mia incomprensione) fra realtà e “formula”?
Grazie mille.
Se considero come punto 1 il punto in cui esce l’acqua dall’ugello (ad altezza zero) e come punto 2 il punto in cui l’acqua raggiunge la massima altezza (h) e applico Bernoulli fra questi due punti ottengo:
$ Patm+(1/2)rho*v^2=Patm+rho*gh $
ma noi abbiamo scritto Bernoulli come P+1/2*rho*v^2+rho*g*h=costante, in cui P indica la pressione.
Ma andando a vedere Bernoulli applicato ai punti 1 e 2 mi risulta che la pressione è in entrambi i casi quella atmosferica, non sono riuscito bene a comprendere questa cosa.
Nel senso che se io immaginassi di porre la mia mano sopra il getto d’acqua subito dopo l’ugello otterrei “una spinta” molto maggiore rispetto al caso in cui ponessi la mia mano sopra il getto d’acqua nel punto più alto. la mia domanda è quindi: perchè questa “apparente discrepanza” (probabilmente data da una mia incomprensione) fra realtà e “formula”?
Grazie mille.
Risposte
Io infatti scriverei:
$P + 1/2 \rho v^2 = P_{atm} + \rho g h$
proprio perché all'altezza dell'ugello il fluido ha una pressione diversa da quella atmosferica (infatti, se ci metti la mano sopra, ti viene "spinta", proprio come hai detto). Il termine che contiene la velocità indica solo quanto velocemente il fluido sgorga dall'ugello. Se la prima $P$ fosse dunque la pressione atmosferica, il fluido colerebbe dall'ugello alla velocità $v$ nel secondo termine, invece di schizzare in alto.
$P + 1/2 \rho v^2 = P_{atm} + \rho g h$
proprio perché all'altezza dell'ugello il fluido ha una pressione diversa da quella atmosferica (infatti, se ci metti la mano sopra, ti viene "spinta", proprio come hai detto). Il termine che contiene la velocità indica solo quanto velocemente il fluido sgorga dall'ugello. Se la prima $P$ fosse dunque la pressione atmosferica, il fluido colerebbe dall'ugello alla velocità $v$ nel secondo termine, invece di schizzare in alto.
Questo è un errore che commettono in molti : ritenere che l'acqua (o il liquido) che esce da un foro di un recipiente, o di una fontana , abbia nella sezione di uscita una pressione maggiore di quella atmosferica.
Chiarito che il teorema di Bernoulli si applica in condizioni ideali di fluido perfetto, pesante, incomprimibile, in moto permanente , e vale a rigori per un singolo filetto fluido (sicché, attenzione: il valore del trinomio cambia da filetto a filetto!) , il getto d'acqua che esce da un buco praticato in un recipiente pieno , su cui agisce la pressione atmosferica , colpisce la tua mano con forza , perchè la tua mano sente la quantità di moto dell'acqua , anzi la fa variare; infatti, che fa la mano ? Devia il flusso dell'acqua , che schizza via da tutte le parti , e quindi la mano sente l'impulso di una forza , uguale alla variazione di quantità di moto. Naturalmente questo è suscettibile di trattazione analitica .
Metti la mano sotto il rubinetto di casa tua : stai sentendo la forza impulsiva dell'acqua , non la maggior pressione. Se immagini una sezione orizzontale del getto d'acqua a poca distanza dall'uscita , sul contorno la pressione è atmosferica, Ma il piano orizzontale è un piano isobaro . Dunque anche in tutti i punti della sezione la pressione è atmosferica. Cioè , la pressione relativa è zero .
Chiarito che il teorema di Bernoulli si applica in condizioni ideali di fluido perfetto, pesante, incomprimibile, in moto permanente , e vale a rigori per un singolo filetto fluido (sicché, attenzione: il valore del trinomio cambia da filetto a filetto!) , il getto d'acqua che esce da un buco praticato in un recipiente pieno , su cui agisce la pressione atmosferica , colpisce la tua mano con forza , perchè la tua mano sente la quantità di moto dell'acqua , anzi la fa variare; infatti, che fa la mano ? Devia il flusso dell'acqua , che schizza via da tutte le parti , e quindi la mano sente l'impulso di una forza , uguale alla variazione di quantità di moto. Naturalmente questo è suscettibile di trattazione analitica .
Metti la mano sotto il rubinetto di casa tua : stai sentendo la forza impulsiva dell'acqua , non la maggior pressione. Se immagini una sezione orizzontale del getto d'acqua a poca distanza dall'uscita , sul contorno la pressione è atmosferica, Ma il piano orizzontale è un piano isobaro . Dunque anche in tutti i punti della sezione la pressione è atmosferica. Cioè , la pressione relativa è zero .
Uhm... Quindi ho detto una sciocchezza?
Ho bisogno pure io di chiarimenti dunque.
Se nel solito recipiente/cisterna con un forellino alla base io comprimo il liquido dall'alto con uno stantuffo, sto applicando una pressione che modifica la velocità di uscita del liquido dal foro. Se invece ne stessi variando la pressione, la velocità resterebbe costante ma... No, non riesco a capire cosa significa avere una pressione diversa all'altezza dell'ugello.
Eppure a suo tempo queste cose mi erano abbastanza chiare. :\
Ho bisogno pure io di chiarimenti dunque.
Se nel solito recipiente/cisterna con un forellino alla base io comprimo il liquido dall'alto con uno stantuffo, sto applicando una pressione che modifica la velocità di uscita del liquido dal foro. Se invece ne stessi variando la pressione, la velocità resterebbe costante ma... No, non riesco a capire cosa significa avere una pressione diversa all'altezza dell'ugello.
Eppure a suo tempo queste cose mi erano abbastanza chiare. :\
Rispondo dapprima a Matteo; la tua interpretazione è giusta , nel senso che la pressione nei due punti del getto verticale della fontana è uguale, cioè è quella atmosferica sia al punto A da cui esce l'acqua che al punto B in cui l'acqua arriva alla massima altezza, come ho detto nel post precedente . Quindi Bernouilli diventa :
$ 1/2\rhov_A^2 = \rhogH_B \rightarrow H_B = (v_A^2)/(2g) $
e questo è ciò che ci aspettiamo, in condizioni ideali . L'acqua arriva alla stessa altezza a cui arriverebbe una pietra lanciata verticalmente verso l'alto con velocità iniziale $v_A$ . Ripeto: la forza che senti sulla mano è dovuta alla velocità dell'acqua quando esce dal getto , cioè alla quantità di moto , non alla pressione nel getto .
In quanto all'esempio di Amivaleo , se aumenti la pressione sulla superficie del liquido in un recipiente (che supponiamo cilindrico e con asse verticale) per mezzo di un pistone , stai aumentando sostanzialmente il battente idrostatico sul foro di uscita; un aumento di pressione pari a $\Deltap$ causa un innalzamento del piano dei carichi idrostatici pari a $(\Deltap)/\gamma$ ; quindi è ovvio che , quando vai ad applicare Bernouilli tra un punto del piano dei carichi idrostatici più alto di quello "libero" e il foro di uscita , ottieni una velocità di efflusso maggiore di quella che avresti se il detto piano fosse quello libero.
Del resto, se hai un serbatoio superiormente aperto , e pratichi tre fori sulla superficie laterale , a diverse altezze , i carichi idrostatici sui tre fori sono differenti, e la velocità torricelliana di efflusso più grande ce l'hai dal foro più in basso.
Ma nelle sezioni contratte dei tre getti in uscita , la pressione è sempre quella atmosferica, cioè in questo caso uguale a quella che agisce sul pelo libero, visto che il serbatoio è aperto in alto . Per inciso, la velocità torricelliana si ottiene proprio mettendo uguali le pressioni nel punto iniziale del filetto fluido , e nel punto finale , all'uscita dal foro di efflusso.
Allego un paio di paginette del testo di idraulica di Citrini-Noseda, dove ci sono varie precisazioni su quanto detto (attenzione alla numerazione delle pagine ) :
$ 1/2\rhov_A^2 = \rhogH_B \rightarrow H_B = (v_A^2)/(2g) $
e questo è ciò che ci aspettiamo, in condizioni ideali . L'acqua arriva alla stessa altezza a cui arriverebbe una pietra lanciata verticalmente verso l'alto con velocità iniziale $v_A$ . Ripeto: la forza che senti sulla mano è dovuta alla velocità dell'acqua quando esce dal getto , cioè alla quantità di moto , non alla pressione nel getto .
In quanto all'esempio di Amivaleo , se aumenti la pressione sulla superficie del liquido in un recipiente (che supponiamo cilindrico e con asse verticale) per mezzo di un pistone , stai aumentando sostanzialmente il battente idrostatico sul foro di uscita; un aumento di pressione pari a $\Deltap$ causa un innalzamento del piano dei carichi idrostatici pari a $(\Deltap)/\gamma$ ; quindi è ovvio che , quando vai ad applicare Bernouilli tra un punto del piano dei carichi idrostatici più alto di quello "libero" e il foro di uscita , ottieni una velocità di efflusso maggiore di quella che avresti se il detto piano fosse quello libero.
Del resto, se hai un serbatoio superiormente aperto , e pratichi tre fori sulla superficie laterale , a diverse altezze , i carichi idrostatici sui tre fori sono differenti, e la velocità torricelliana di efflusso più grande ce l'hai dal foro più in basso.
Ma nelle sezioni contratte dei tre getti in uscita , la pressione è sempre quella atmosferica, cioè in questo caso uguale a quella che agisce sul pelo libero, visto che il serbatoio è aperto in alto . Per inciso, la velocità torricelliana si ottiene proprio mettendo uguali le pressioni nel punto iniziale del filetto fluido , e nel punto finale , all'uscita dal foro di efflusso.
Allego un paio di paginette del testo di idraulica di Citrini-Noseda, dove ci sono varie precisazioni su quanto detto (attenzione alla numerazione delle pagine ) :
Shackle ti ringrazio per la risposta, sei stato veramente chiaro!!
Mi rimane da chiarire un'ultima cosa, in generale quando si parla di pressione in un tubo come si può immaginare di effettuare una misura della pressione? perchè io avevo l'idea di mettere una mano sul tubo e sentire la spinta, ma dato che abbiamo appurato che così non è, come dobbiamo procedere? Ad esempio lo strumento che misura la pressione sanguigna agisce comprimendo il braccio, ma in un tubo "rigido" come funziona?
Mi rimane da chiarire un'ultima cosa, in generale quando si parla di pressione in un tubo come si può immaginare di effettuare una misura della pressione? perchè io avevo l'idea di mettere una mano sul tubo e sentire la spinta, ma dato che abbiamo appurato che così non è, come dobbiamo procedere? Ad esempio lo strumento che misura la pressione sanguigna agisce comprimendo il braccio, ma in un tubo "rigido" come funziona?
Monti un manometro sul tubo, oppure un tubo piezometrico , cioè un tubo graduato, aperto in alto, come in questa figura
Ma meglio un manometro , se la pressione è alta .
Però, da un punto di vista teorico, la figura è un po' ingannevole , perchè il tubo dovrebbe arrivare al filetto fluido dove vuoi misurare la pressione. Anche il manometro misura la pressione nel punto in cui è montato , ma nei casi pratici si assume che la pressione sia costante sull'intera sezione trasversale . Al solito, la pratica differisce un po' dalla teoria.
Ma meglio un manometro , se la pressione è alta .
Però, da un punto di vista teorico, la figura è un po' ingannevole , perchè il tubo dovrebbe arrivare al filetto fluido dove vuoi misurare la pressione. Anche il manometro misura la pressione nel punto in cui è montato , ma nei casi pratici si assume che la pressione sia costante sull'intera sezione trasversale . Al solito, la pratica differisce un po' dalla teoria.
Perfetto shackle, grazie mille di tutto!!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo