Composizione di 6 Spin
Buondì 
Non so se il titolo è pertinente, nel mio problema ho un sistema di 6 elettroni e ciascuno di essi è in un autostao di $L_\alpha^2$ con autovalore $2\h^2$, quindi $l=1$ per ogni elettrone. Mi viene chiesto se il sistema si trova in un autostato di $S_z$ (chiamando ${S}$ il momento angolare di spin totale) e in caso con quale autovalore.
Io mi immagino che siano in un autostato di $S_z$ per rispettare il principio di Pauli, ma non saprei come combinare 6 spin in modo da trovare l'autovalore $S_z$ in un modo più semplice di: comporre gli spin del primo e del secondo e successivamente comporre con il terzo e così via, mi sembra troppo complicato per la domanda che è, qualcuno può aiutarmi?
Grazie mille in anticipo!
Non so se il titolo è pertinente, nel mio problema ho un sistema di 6 elettroni e ciascuno di essi è in un autostao di $L_\alpha^2$ con autovalore $2\h^2$, quindi $l=1$ per ogni elettrone. Mi viene chiesto se il sistema si trova in un autostato di $S_z$ (chiamando ${S}$ il momento angolare di spin totale) e in caso con quale autovalore.
Io mi immagino che siano in un autostato di $S_z$ per rispettare il principio di Pauli, ma non saprei come combinare 6 spin in modo da trovare l'autovalore $S_z$ in un modo più semplice di: comporre gli spin del primo e del secondo e successivamente comporre con il terzo e così via, mi sembra troppo complicato per la domanda che è, qualcuno può aiutarmi?
Grazie mille in anticipo!
Risposte
Perché dovrebbe essere in un autostato si $S_z$? Se non metti delle ipotesi non mi sembra debba essere vero. Anche perché se lo fosse ti basta girare gli assi e non lo è più, quindi...
Eccomi, si in effetti l'unica ipotesi che ho omesso è quella che ogni particella si trova nello stesso autostato dell'Hamiltoniana di singola particella: $H_\alpha=\frac{1}{2m}p_\alpha^2+V(r_\alpha)$ ...
Posto la risposta che ho provato a dare.
Essendo il sistema in un autostato di $L^2$ con autovalore $l=1$, vuol dire che $l_z=-1,0,1$. Ora, siccome ho 6 elettroni devono essere necessariamente nelle tre coppie di stati $|l_z,s_z>$:
E quindi, se il sistema è in un autostato di $S_z$, l'autovalore associato è necessariamente $S_z=0$.
Questo è vero solo perchè ho esattamente tre autostati di $L_z$ e esattamente 6 elettroni che li "riempiono" completamente. Se avessi avuto ad esempio 5 elettroni è giusto dire che $S_z$ non avrebbe avuto un unico autovalore?
Essendo il sistema in un autostato di $L^2$ con autovalore $l=1$, vuol dire che $l_z=-1,0,1$. Ora, siccome ho 6 elettroni devono essere necessariamente nelle tre coppie di stati $|l_z,s_z>$:
$|-1,\pm1/2> \quad |0, \pm1/2> \quad |1,\pm1/2>$
E quindi, se il sistema è in un autostato di $S_z$, l'autovalore associato è necessariamente $S_z=0$.
Questo è vero solo perchè ho esattamente tre autostati di $L_z$ e esattamente 6 elettroni che li "riempiono" completamente. Se avessi avuto ad esempio 5 elettroni è giusto dire che $S_z$ non avrebbe avuto un unico autovalore?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo