Composizione dei Movimenti
Salve a tutti,
vorrei sottoporvi il seguente problema:
In un sistema di assi cartesiani $Oxyz$ un corpo scorre in un tubicino fermo nel piano $xy$, inclinato di un angolo $alfa$ rispetto l'asse $x$, di lunghezza $L$ e tale che la velocità del corpo in uscita dal tubicino è $V0$.
Le equazioni del corpo in caduta libera sono:
$x(t)=XO+V0*cos(alfa)$
$y(t)=-1/2*g*t^2-V0*sin(alfa)+Y0$
$z(t)=0$
indicando con $X0=L*cos(alfa)$ e $Y0=L*sin(alfa)$.
Se invece il tubicino ruota con velocità angolare $omega$ come si trasformano le precedenti equazioni?
Grazie a tutti
Fabio
vorrei sottoporvi il seguente problema:
In un sistema di assi cartesiani $Oxyz$ un corpo scorre in un tubicino fermo nel piano $xy$, inclinato di un angolo $alfa$ rispetto l'asse $x$, di lunghezza $L$ e tale che la velocità del corpo in uscita dal tubicino è $V0$.
Le equazioni del corpo in caduta libera sono:
$x(t)=XO+V0*cos(alfa)$
$y(t)=-1/2*g*t^2-V0*sin(alfa)+Y0$
$z(t)=0$
indicando con $X0=L*cos(alfa)$ e $Y0=L*sin(alfa)$.
Se invece il tubicino ruota con velocità angolare $omega$ come si trasformano le precedenti equazioni?
Grazie a tutti
Fabio
Risposte
Ciao e benvenuto,
nel momento in cui agisce la velocità angolare, entrano in gioco le forze d'inerzia, tra questa la forza centrifuga che va a modificare l'accelerazione del corpo.
nel momento in cui agisce la velocità angolare, entrano in gioco le forze d'inerzia, tra questa la forza centrifuga che va a modificare l'accelerazione del corpo.
Il problema di considerare le componenti della velocità angolare non mi è chiaro, qualcuno ha un suggerimento?
Grazie
Grazie
Confesso che il problema non mi è affatto chiaro.
Se il tubicino ruota con velocità angolare $\omega$ e il resto del mondo sta fermo, allora le equazioni della cinematica successiva alla fuoriuscita del corpo sono sempre le medesime di prima, con l'avvertenza però che la velocità $\vecV_0$ è diversa da prima, ovvero detta $\vecV_0^{\prime}$ la velocità relativa nel sistema rotante, la velocità rispetto al sistema fisso si ottiene facendo la somma vettoriale $vecV_0=vecV_0^{\prime}+vec\omega \times vecL$ dove quest'ultimo è un vettore lungo come il tubicino e a esso sovrapposto.
Se invece il problema è diverso allora va spiegato un po' meglio.
Se il tubicino ruota con velocità angolare $\omega$ e il resto del mondo sta fermo, allora le equazioni della cinematica successiva alla fuoriuscita del corpo sono sempre le medesime di prima, con l'avvertenza però che la velocità $\vecV_0$ è diversa da prima, ovvero detta $\vecV_0^{\prime}$ la velocità relativa nel sistema rotante, la velocità rispetto al sistema fisso si ottiene facendo la somma vettoriale $vecV_0=vecV_0^{\prime}+vec\omega \times vecL$ dove quest'ultimo è un vettore lungo come il tubicino e a esso sovrapposto.
Se invece il problema è diverso allora va spiegato un po' meglio.
Grazie Falco,
se ho capito bene rispetto un sistema di riferimento inerziale le equazioni diventano:
$x(t)=V0*cos(alfa)*t+omega*L*cos(alfa)*t+X0$
$y(t)=-1/2*g*t^2-V0*sin(alfa)*t+Y0$
$z(t)=Z0+omega*L*cos(alfa)*t$
Questo vuol dire che se il tubicino ruota al momento del lancio della pallina (V0,X0,Y0,Z0) la gittata sarà maggiore rispetto una caduta libera classica.
Confido in una vostra risposta.
Ciao
se ho capito bene rispetto un sistema di riferimento inerziale le equazioni diventano:
$x(t)=V0*cos(alfa)*t+omega*L*cos(alfa)*t+X0$
$y(t)=-1/2*g*t^2-V0*sin(alfa)*t+Y0$
$z(t)=Z0+omega*L*cos(alfa)*t$
Questo vuol dire che se il tubicino ruota al momento del lancio della pallina (V0,X0,Y0,Z0) la gittata sarà maggiore rispetto una caduta libera classica.
Confido in una vostra risposta.
Ciao
"dreaming":
Grazie Falco,
se ho capito bene rispetto un sistema di riferimento inerziale le equazioni diventano:
$x(t)=V0*cos(alfa)*t+omega*L*cos(alfa)*t+X0$
$y(t)=-1/2*g*t^2-V0*sin(alfa)*t+Y0$
$z(t)=Z0+omega*L*cos(alfa)*t$
Questo vuol dire che se il tubicino ruota al momento del lancio della pallina (V0,X0,Y0,Z0) la gittata sarà maggiore rispetto una caduta libera classica.
Confido in una vostra risposta.
Ciao
Occhio!
Le componenti della velocità di trascinamento $\vecV_t=\vecomega\times\vecL$ sono:
$V_(tx)=-\omegaLsin\alpha$
$V_(ty)=\omegaLcos\alpha$
Scusa Falco,
ma il discorso non mi torna.
Abbiamo due sistemi di riferimento $OXYZ$ inerziale ed un altro $O'X'Y'Z'$ che ruota a velocità angolare $omega=(0,w,0)$.
Quindi i due sistemi di riferimento hanno la stessa orgine e $Y$ coincide con $Y'$.
Supponiamo che il lancio della pallina avvenga quando $L=(L*cos(alfa),L*sin(alfa),0)$, allora $omegaxL=(0,0,omega*L*cos(alfa))$, che non ha componenti lungo $Y$.
Provo a cambiare ragionamento: se consideriamo che rispetto un sistema di riferimento inerziale al mometno del lancio la pallina ha una forza centrifuga (m*omega^2*r,0,0) allora risolvendo le equaziomi rispetto il sistema $OXYZ$ si ottiengono le equazioni che ho scritto nel precedente post. Cosa ne pensi?
Ciao e grazie per la disponibilità dimostrata
ma il discorso non mi torna.
Abbiamo due sistemi di riferimento $OXYZ$ inerziale ed un altro $O'X'Y'Z'$ che ruota a velocità angolare $omega=(0,w,0)$.
Quindi i due sistemi di riferimento hanno la stessa orgine e $Y$ coincide con $Y'$.
Supponiamo che il lancio della pallina avvenga quando $L=(L*cos(alfa),L*sin(alfa),0)$, allora $omegaxL=(0,0,omega*L*cos(alfa))$, che non ha componenti lungo $Y$.
Provo a cambiare ragionamento: se consideriamo che rispetto un sistema di riferimento inerziale al mometno del lancio la pallina ha una forza centrifuga (m*omega^2*r,0,0) allora risolvendo le equaziomi rispetto il sistema $OXYZ$ si ottiengono le equazioni che ho scritto nel precedente post. Cosa ne pensi?
Ciao e grazie per la disponibilità dimostrata
La velocità di trascinamento di un punto situato su un sistema rotante è ortogonale al raggio che congiunge il punto con l'origine. Dunque se il raggio ha coordinate $x=Lcos\alpha$ e $y=Lsin\alpha$ in un certo istante, la velocità è ortogonale a questo raggio, dunque le sue componenti non sono quelle che scrivi tu (secondo le tue componenti la velocità sarebbe invece parallela al raggio). Lo si vede anche per il fatto che $\alpha=\omegat$, per cui sostituendo nell'espressione delle coordinate e derivando rispetto al tempo per trovare la velocità di trascinamento le componenti di quest'ultima risultano essere quelle che ho scritto nel mio precedente post.
Penso che la soluzione al problema che ho proposto sia la seguente:
$x(t)=V0*cos(alfa)*t+X0$
$y(t)=-1/2*g*t^2-V0*sin(alfa)*t+Y0$
$z(t)=omega*L*cos(alfa)*t$
Di fatti la gittata nel piano inerziale $(X,Y)$ non cambia se lancio la pallina con velocità $V0$ o se lancio la pallina con velocità $V0$ e ruoto mentre la lancio. Ciò che cambia nei due casi è $z(t)=0$ o $z(t)=omega*L*cos(alfa)*t$.
Saluti
$x(t)=V0*cos(alfa)*t+X0$
$y(t)=-1/2*g*t^2-V0*sin(alfa)*t+Y0$
$z(t)=omega*L*cos(alfa)*t$
Di fatti la gittata nel piano inerziale $(X,Y)$ non cambia se lancio la pallina con velocità $V0$ o se lancio la pallina con velocità $V0$ e ruoto mentre la lancio. Ciò che cambia nei due casi è $z(t)=0$ o $z(t)=omega*L*cos(alfa)*t$.
Saluti
"dreaming":
Penso che la soluzione al problema che ho proposto sia la seguente:
$x(t)=V0*cos(alfa)*t+X0$
$y(t)=-1/2*g*t^2-V0*sin(alfa)*t+Y0$
$z(t)=omega*L*cos(alfa)*t$
Di fatti la gittata nel piano inerziale $(X,Y)$ non cambia se lancio la pallina con velocità $V0$ o se lancio la pallina con velocità $V0$ e ruoto mentre la lancio. Ciò che cambia nei due casi è $z(t)=0$ o $z(t)=omega*L*cos(alfa)*t$.
Saluti
Non mi pare proprio, se la rotazione avviene sul piano xy come può la pallina avere una velocità lungo z???
La soluzione è dove cercavo di portarti per passi, cioè:
$x(t)=X_0+[V_0cos(\alpha)-\omegaLsin(\alpha)]t$
$y(t)=Y_0+[V_0sin(\alpha)+\omegaLcos(\alpha)]t-1/2 g t^2$
$z(t)=0$
Caro Falco,
probabilmente non sono stato preciso con il sistema di riferimento e ti chiedo scusa.
Il sistema di riferimento inerziale che considero è il seguente:
^ y
| (tubicino)
| \ \
| \ .\ V0
|----------------> x
/
/
/z
Il tubicino inclianto, di lunghezza $L$, gira con velocità angolare $\ve\omega=(0,\omega,0)$, cioè è incernierato in $Y$ e gira attorno a $y$.
Se considero $\omega=0$ allora la velocità della pallina all'uscita dal tubicino è pari a:
$V0_x=V0*cos(alfa)$
$V0_y=-V0*sin(alfa)$
$V0_z=0$
Ora se considero che il tubicino gira con velocità angolare $\omega$ come cambiano le componenti della velocità all'istante di abbandono della pallina dal tubicino?
Saluti
Fabio
probabilmente non sono stato preciso con il sistema di riferimento e ti chiedo scusa.
Il sistema di riferimento inerziale che considero è il seguente:
^ y
| (tubicino)
| \ \
| \ .\ V0
|----------------> x
/
/
/z
Il tubicino inclianto, di lunghezza $L$, gira con velocità angolare $\ve\omega=(0,\omega,0)$, cioè è incernierato in $Y$ e gira attorno a $y$.
Se considero $\omega=0$ allora la velocità della pallina all'uscita dal tubicino è pari a:
$V0_x=V0*cos(alfa)$
$V0_y=-V0*sin(alfa)$
$V0_z=0$
Ora se considero che il tubicino gira con velocità angolare $\omega$ come cambiano le componenti della velocità all'istante di abbandono della pallina dal tubicino?
Saluti
Fabio
Ah beh, allora se il tubicino gira attorno all'asse y le componenti della velocità di trascinamento sono sia secondo x che secondo z e dipendono dall'angolo nel momento del rilascio. Se non sbaglio $\alpha$ è un angolo fisso nel piano xy, mentre qui occorre definire anche un angolo (variabile nel tempo) nel piano xz e stabilire quale sia al momento del rilascio.
Si, $\alfa$ è un angolo fisso nel piano $xy$, possiamo supporre che la pallina venga lanciata quando è allineata al piano $xy$.
Saluti
Saluti
Allora la soluzione dovrebbe essere quella che hai già detto alcuni post fa.
Penso quindi che la versione finale sia:
$x(t)=X0+V0*cos(\alfa)*t+1/2*\omega^2*L*cos(\alfa)*t^2$
$y(t)=Y0-V0*sin(\alfa)-1/2*g*t^2$
$z(t)=\omega*L*cos(\alfa)*t$
Concordi?
Saluti
$x(t)=X0+V0*cos(\alfa)*t+1/2*\omega^2*L*cos(\alfa)*t^2$
$y(t)=Y0-V0*sin(\alfa)-1/2*g*t^2$
$z(t)=\omega*L*cos(\alfa)*t$
Concordi?
Saluti
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