Componenti tangenziale e normale dell'accelerazione rispetto alla traiettoria

[MarinaxMBx]

Il testo del problema che mi ha dato qualche difficoltà è il seguente:
"Un punto materiale è lanciato orizzontalmente, con velocità iniziale $v_0$, dalla sommità di una torre. Ricavare l'espressione, in funzione del tempo, delle componenti tangenziale e normale dell'accelerazione. Il moto, in assenza di attriti, avviene con accelerazione pari all'accelerazione di gravità $g$."

Ho pensato di impostare il problema in questo modo:

$a_x(0)=0 , a_y(0)=-g ;
v_x(0)=v_0 , v_y(0)=0 => v_x= v_0 , v_y=-g*t $

Per la definizione di accelerazione,
$vec(a)=(dvec(v))/dt=(d(v*\hat{v}))/dt = ((dv)/dt)*\hat{v}+((d\hat{v})/dt)*v $
dove $\hat{v}$ è il versore della velocità.

Dalla prima parte della somma ottengo la componente tangenziale:
$((dv)/dt)*\hat{v}=(dsqrt(v_0^2+g^2t^2))/dt*\hat{v}=(g^2t)/sqrt(v_0^2*g^2t^2)*\hat{v}$

Ora, però, mi trovo in difficoltà con la componente normale, perché non saprei proprio come ricavare la derivata del versore in questione, e non so nemmeno come arrivarci in altri modi. Consigli?

[quantunquemente]

$vecg=veca_t+veca_c$
$a_c=sqrt(g^2-a_t^2)$

[MarinaxMBx]

Grazie mille!