Componenti del Tensore Energia Impulso
Buonasera,
studio per diletto personale l'elettromagnetismo, sono arrivato all'introduzione del tensore energia impulso: $ T^(mu nu)=aF^(mu sigma )F^nu sigma + b eta^(mu nu )F^(sigma tau )Fsigma tau $
conosciamo di questo tensore la componente $ T^(00)=1/2(E^2+B^2) $ ovvero l'energia del campo EM.
Ora, per cominciare, mi piacerebbe ricavare dalla definizione di sopra, tramite le componenti del tensore del campo elettromagnetico, l'espressione della componente $ T^(00)$ e poi quindi calcolare le costanti a e b. Purtroppo ho poca dimestichezza con la manipolazione dei tensori, non so bene come comportarmi quando si hanno indici liberi diversi, e non capisco a che serve il tensore metrico se il tensore del campo EM ha tutti zeri nella diagonale.
Volevo chiedere se mi si potrebbe mostrare esplicitamente la derivazione. Riporto anche la definizione del tensore di campo EM in forma controvariante:
$ F^(mu nu )=( ( 0 , E_x , E_y , E_z ),( -E_x , 0 , B_z , -B_y ),( -E_y , -B_z , 0 , B_x ),( E_z , B_y , -B_x , 0 ) ) $
Grazie per il vostro tempo.
studio per diletto personale l'elettromagnetismo, sono arrivato all'introduzione del tensore energia impulso: $ T^(mu nu)=aF^(mu sigma )F^nu sigma + b eta^(mu nu )F^(sigma tau )Fsigma tau $
conosciamo di questo tensore la componente $ T^(00)=1/2(E^2+B^2) $ ovvero l'energia del campo EM.
Ora, per cominciare, mi piacerebbe ricavare dalla definizione di sopra, tramite le componenti del tensore del campo elettromagnetico, l'espressione della componente $ T^(00)$ e poi quindi calcolare le costanti a e b. Purtroppo ho poca dimestichezza con la manipolazione dei tensori, non so bene come comportarmi quando si hanno indici liberi diversi, e non capisco a che serve il tensore metrico se il tensore del campo EM ha tutti zeri nella diagonale.
Volevo chiedere se mi si potrebbe mostrare esplicitamente la derivazione. Riporto anche la definizione del tensore di campo EM in forma controvariante:
$ F^(mu nu )=( ( 0 , E_x , E_y , E_z ),( -E_x , 0 , B_z , -B_y ),( -E_y , -B_z , 0 , B_x ),( E_z , B_y , -B_x , 0 ) ) $
Grazie per il vostro tempo.
Risposte
Il conto che va fatto sta (anche) su Wikipedia: bisogna valutare
\[
\sum_\alpha F^{\mu \alpha}F^{\nu}{}_{\alpha} - \frac{1}{4} \eta^{\mu\nu}\sum_{\alpha,\beta}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}
\] (è meglio con le sommatorie esplicite?).
\[
\sum_\alpha F^{\mu \alpha}F^{\nu}{}_{\alpha} - \frac{1}{4} \eta^{\mu\nu}\sum_{\alpha,\beta}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}
\] (è meglio con le sommatorie esplicite?).
Salve,
grazie per la risposta. In effetti con le sommatorie diventa tutto più chiaro, e sono riuscito a calcolare finalmente la componente del tensore, che mi viene:
$ T^00 =aE^2 +2b(-E^2 +B^2 ) $
Dalla pagina di Wiki che mi hai linkato si capisce che le costanti valgono a=1 e b=1/4, che in effetti verificano l'uguaglianza $ aE^2 -2b(-E^2 +B^2 )=1/2(E^2 +B^2 ) $
Per cui, se ho ben capito, il tensore metrico in forma controvariante deve avere $ eta^00 =1 $ .
In questo modo tutto torna. L'unico mio cruccio rimane il fatto che non sono riuscito ancora a trovare il valore di a e b algebricamente, risolvendo: $ aE^2 -2b(-E^2 +B^2 )=1/2(E^2 +B^2 ) $ in modo da verificare l'informazione di Wikipedia. Sicuramente per voi è banale, ma io è già da un po che ci combatto.
grazie per la risposta. In effetti con le sommatorie diventa tutto più chiaro, e sono riuscito a calcolare finalmente la componente del tensore, che mi viene:
$ T^00 =aE^2 +2b(-E^2 +B^2 ) $
Dalla pagina di Wiki che mi hai linkato si capisce che le costanti valgono a=1 e b=1/4, che in effetti verificano l'uguaglianza $ aE^2 -2b(-E^2 +B^2 )=1/2(E^2 +B^2 ) $
Per cui, se ho ben capito, il tensore metrico in forma controvariante deve avere $ eta^00 =1 $ .
In questo modo tutto torna. L'unico mio cruccio rimane il fatto che non sono riuscito ancora a trovare il valore di a e b algebricamente, risolvendo: $ aE^2 -2b(-E^2 +B^2 )=1/2(E^2 +B^2 ) $ in modo da verificare l'informazione di Wikipedia. Sicuramente per voi è banale, ma io è già da un po che ci combatto.
Tutto quello che puoi trovare è una dipendenza lineare di $b$ da $a$, e nella fattispecie $4b=a$. fissa una delle due costanti a 1, e l'altra è determinata di conseguenza. Non ho idea del motivo per cui $T$ dipenda da queste due costanti, probabilmente segue dalla maniera in cui è derivato?
Cercando la risposta alla tua domanda, mi sono ricordato che la costante 1/4 in effetti nasce quando si calcola la Lagrangiana del campo elettromagnetico in assenza di cariche e correnti.
Ovvero se si valuta il seguente scalare: $ F_(munu) F^(munu) $
se si eseguono i calcoli si trova: $ F_(munu) F^(munu) =-2E^2+2B^2 $
per quale ragione però si preferisca esprimere la cosa come : $ -1/4F_(munu) F^(munu) =1/2(E^2-B^2) $
non ne ho idea.
Ti ringrazio, sei stato d'aiuto e d'ispirazione.
Ovvero se si valuta il seguente scalare: $ F_(munu) F^(munu) $
se si eseguono i calcoli si trova: $ F_(munu) F^(munu) =-2E^2+2B^2 $
per quale ragione però si preferisca esprimere la cosa come : $ -1/4F_(munu) F^(munu) =1/2(E^2-B^2) $
non ne ho idea.
Ti ringrazio, sei stato d'aiuto e d'ispirazione.
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