Componente tangenziale di $\vec a$, cerchio osculatore...
Allora ragazzi il vettore accelerazione media è:
$\vec a_m = (\Delta \vec v) / (\Delta t)$ mentre quella istantaneaè facile dimostrare che è $\vec a(t) = (d \vec v(t)) / dt$ e come si fa a dire che è uguale a ulteriormente a $(d^2 \vec r(t)) / (dt^2)$? dove quel 2 spero rappresenti la derivata seconda
Volevo sapere $\vec a_m$ che direzione ha? mentre per $\vec a(t)$ il discorso è più complesso. Non ho ben capito perchè la direzione di $\vec a(t)$ dipenda dal modulo e dalla direzione della velocità instantanea.
$\vec v = v \vec \tau$ quindi
$\vec a(t) = (d \vec v(t)) / dt = d/ dt (\vec \tau v) = (dv)/dt \vec \tau + v (d\vec \tau) / dt $ dove il primo termine è il vettore accelerazione tangenziale con la stessa direzione di $\vec a(t)$?
Mentre il secondo termine il libro dice che $v (d\vec \tau) / dt = v (ds)/dt (d\vec \tau) /(ds) = v^2 (d\vec \tau) / (ds)$
Per calcolare $(d\vec \tau) / (ds)$ bisogna sapere che ogni tratto di traiettoria piccolo (sarebbe $ds$?) può essere approssimato con un arco di circonferenza tangente alla traiettoria stessa...come lo posso capire? è come per gli integrali? e la cinconferenza che meglio lo approssima è detta cerchio osculatore che in un punto $P$ ha un contatto del terzo ordine (ho capito il perchè...) Il raggio $\rho$ è il raggio di curvatura o del cerchio...per il fatto che possiamo approssimare ($ds$?) segue che $(d\vec \tau) / (ds) = (d\phi) / (\rhod\phi) \vec n = \vec n / \rho$ dove $\vec n$ è il versore della normale in $P$ sul libro non viene spiegato cosa sia $\phi$
Allora $ v (d\vec \tau) / dt = v^2/\rho \vec n$ cioè la componente normale...ragazzi ma non è che con un disegnaccio
su paint mi potreste spiegare queste cose? Quest'ultimo passaggio non mi è chiaro 
e non ho capito perchè infine $ \vec a(t) = \vec a_{\tau} + \vec a_{n}$
e perchè $a = ( \vec (a_{\tau})^2 + (\vec a_{n})^2)^{1/2} = [(dv/dt)^2+(v^2/\rho)^2]^{1/2}$
Il post è abbastanza lungo e non vorrei aver scritto cavolate
Grazie ragazzi
$\vec a_m = (\Delta \vec v) / (\Delta t)$ mentre quella istantaneaè facile dimostrare che è $\vec a(t) = (d \vec v(t)) / dt$ e come si fa a dire che è uguale a ulteriormente a $(d^2 \vec r(t)) / (dt^2)$? dove quel 2 spero rappresenti la derivata seconda
Volevo sapere $\vec a_m$ che direzione ha? mentre per $\vec a(t)$ il discorso è più complesso. Non ho ben capito perchè la direzione di $\vec a(t)$ dipenda dal modulo e dalla direzione della velocità instantanea.
$\vec v = v \vec \tau$ quindi
$\vec a(t) = (d \vec v(t)) / dt = d/ dt (\vec \tau v) = (dv)/dt \vec \tau + v (d\vec \tau) / dt $ dove il primo termine è il vettore accelerazione tangenziale con la stessa direzione di $\vec a(t)$?
Mentre il secondo termine il libro dice che $v (d\vec \tau) / dt = v (ds)/dt (d\vec \tau) /(ds) = v^2 (d\vec \tau) / (ds)$
Per calcolare $(d\vec \tau) / (ds)$ bisogna sapere che ogni tratto di traiettoria piccolo (sarebbe $ds$?) può essere approssimato con un arco di circonferenza tangente alla traiettoria stessa...come lo posso capire? è come per gli integrali? e la cinconferenza che meglio lo approssima è detta cerchio osculatore che in un punto $P$ ha un contatto del terzo ordine (ho capito il perchè...) Il raggio $\rho$ è il raggio di curvatura o del cerchio...per il fatto che possiamo approssimare ($ds$?) segue che $(d\vec \tau) / (ds) = (d\phi) / (\rhod\phi) \vec n = \vec n / \rho$ dove $\vec n$ è il versore della normale in $P$ sul libro non viene spiegato cosa sia $\phi$
Allora $ v (d\vec \tau) / dt = v^2/\rho \vec n$ cioè la componente normale...ragazzi ma non è che con un disegnaccio
su paint mi potreste spiegare queste cose? Quest'ultimo passaggio non mi è chiaro e non ho capito perchè infine $ \vec a(t) = \vec a_{\tau} + \vec a_{n}$e perchè $a = ( \vec (a_{\tau})^2 + (\vec a_{n})^2)^{1/2} = [(dv/dt)^2+(v^2/\rho)^2]^{1/2}$
Il post è abbastanza lungo e non vorrei aver scritto cavolate
Grazie ragazzi
Risposte
Ti spiego solo una cosa, alle altre puoi arrivarci da solo.
Preso il cerchio osculatore alla curva in P, il versore tangente [tex]{{\vec \tau }_1}[/tex] ha modulo unitario. Dopo un cammino [tex]\Delta s = \rho \Delta \varphi[/tex] il versore tangente è diventato [tex]{{\vec \tau }_2}[/tex]. La differenza tra questi versori è [tex]\Delta \vec \tau[/tex], il cui modulo è [tex]\left| {\Delta \tau } \right| \approx 1 \cdot \Delta \varphi[/tex].
Come si vede dal disegno, più piccolo è l'angolo [tex]\Delta \varphi[/tex] e più il vettore differenza [tex]\Delta \vec \tau[/tex] tende a essere normale a [tex]{{\vec \tau }_1}[/tex]. Al limite per [tex]\Delta s[/tex] infinitesimo, cioè per [tex]\Delta \varphi[/tex] infinitesimo si ha l'uguaglianza [tex]d\vec \tau = \vec nd\varphi[/tex].
Preso il cerchio osculatore alla curva in P, il versore tangente [tex]{{\vec \tau }_1}[/tex] ha modulo unitario. Dopo un cammino [tex]\Delta s = \rho \Delta \varphi[/tex] il versore tangente è diventato [tex]{{\vec \tau }_2}[/tex]. La differenza tra questi versori è [tex]\Delta \vec \tau[/tex], il cui modulo è [tex]\left| {\Delta \tau } \right| \approx 1 \cdot \Delta \varphi[/tex].
Come si vede dal disegno, più piccolo è l'angolo [tex]\Delta \varphi[/tex] e più il vettore differenza [tex]\Delta \vec \tau[/tex] tende a essere normale a [tex]{{\vec \tau }_1}[/tex]. Al limite per [tex]\Delta s[/tex] infinitesimo, cioè per [tex]\Delta \varphi[/tex] infinitesimo si ha l'uguaglianza [tex]d\vec \tau = \vec nd\varphi[/tex].
wow quanto impegno, disegno perfetto! ho capito molte cose
Ti volevo chiedere per $\Delta s$ intendi l'ascissa curvilinea $ds$? e non ho capito cosa sia il secondo più in basso $\vec \tau_2$ vincolato in $P$ sarebbe forse una conseguenza dell'approssimazione?.Scusa l'ignoranza ma quindi $\Delta s$ o $ds = \rho \Delta \phi$ viene dalla geometria giusto? cioè un pezzo più o meno piccolo di circonferenza è uguale al raggio della medesima per l'angolo che si forma con lo spostamento?
Cosa rappresenta quel vettore che unisce $\vec \tau_1$ e $\vec \tau_2$? $d \vec \tau$? Il metodo della poligonale non dice di unire la testa di un vettore con la coda? A parte questa perplessità ti ringrazio moltissimo perchè ho capito almeno di cosa parlava il libro, che non era affatto chiaro
perchè il libro mi dice che $d\vec \tau = |\vec \tau| d \phi \vec n$? non capisco quel $|\vec \tau|$
Grazie ancora, ho le cose molto più chiare...
Ti volevo chiedere per $\Delta s$ intendi l'ascissa curvilinea $ds$? e non ho capito cosa sia il secondo più in basso $\vec \tau_2$ vincolato in $P$ sarebbe forse una conseguenza dell'approssimazione?.Scusa l'ignoranza ma quindi $\Delta s$ o $ds = \rho \Delta \phi$ viene dalla geometria giusto? cioè un pezzo più o meno piccolo di circonferenza è uguale al raggio della medesima per l'angolo che si forma con lo spostamento?
Cosa rappresenta quel vettore che unisce $\vec \tau_1$ e $\vec \tau_2$? $d \vec \tau$? Il metodo della poligonale non dice di unire la testa di un vettore con la coda? A parte questa perplessità ti ringrazio moltissimo perchè ho capito almeno di cosa parlava il libro, che non era affatto chiaro
perchè il libro mi dice che $d\vec \tau = |\vec \tau| d \phi \vec n$? non capisco quel $|\vec \tau|$ Grazie ancora, ho le cose molto più chiare...
s è l'ascissa curvilinea, $\Delta s$ è una variazione finita di ascissa curvilinea, cioè la lunghezza di un tratto finito di curva, ds sarebbe un tratto di curva infinitesimo.
[tex]{{\vec \tau }_1}[/tex] è il versore (cioè un vettore di modulo 1) tangente alla curva nel punto P che supponiamo abbia ascissa curvilinea s
[tex]{{\vec \tau }_2}[/tex] è il versore (cioè un vettore di modulo 1) tangente alla curva in un punto successivo a P che ha ascissa curvilinea [tex]s + \Delta s[/tex]
[tex]\Delta \vec \tau = {{\vec \tau }_2} - {{\vec \tau }_1}[/tex] è il vettore differenza. Per fare la differenza dei due vettori occorre posizionare i due vettori sullo stesso punto di origine (per questo [tex]{{\vec \tau }_2}[/tex] l'ho rappresentato anche traslato in P) e tracciare un vettore che va dalla punta di [tex]{{\vec \tau }_1}[/tex] alla punta di [tex]{{\vec \tau }_2}[/tex]; non è altro che la regola della poligonale, perché è come dire [tex]{{\vec \tau }_2} = {{\vec \tau }_1} + \Delta \vec \tau[/tex].
Quando poi si passa dagli incrementi finiti ai differenziali tutti questi vettori convergono verso il punto P e quindi rappresentano proprietà della curva nel punto P.
[tex]{{\vec \tau }_1}[/tex] è il versore (cioè un vettore di modulo 1) tangente alla curva nel punto P che supponiamo abbia ascissa curvilinea s
[tex]{{\vec \tau }_2}[/tex] è il versore (cioè un vettore di modulo 1) tangente alla curva in un punto successivo a P che ha ascissa curvilinea [tex]s + \Delta s[/tex]
[tex]\Delta \vec \tau = {{\vec \tau }_2} - {{\vec \tau }_1}[/tex] è il vettore differenza. Per fare la differenza dei due vettori occorre posizionare i due vettori sullo stesso punto di origine (per questo [tex]{{\vec \tau }_2}[/tex] l'ho rappresentato anche traslato in P) e tracciare un vettore che va dalla punta di [tex]{{\vec \tau }_1}[/tex] alla punta di [tex]{{\vec \tau }_2}[/tex]; non è altro che la regola della poligonale, perché è come dire [tex]{{\vec \tau }_2} = {{\vec \tau }_1} + \Delta \vec \tau[/tex].
Quando poi si passa dagli incrementi finiti ai differenziali tutti questi vettori convergono verso il punto P e quindi rappresentano proprietà della curva nel punto P.
Quindi $d \vec \tau$ sarebbe la differenza infinitesima dei due versori per $\Delta \phi -> 0$?
Grazie
Grazie
"davidedesantis":
Quindi $d \vec \tau$ sarebbe la differenza infinitesima dei due versori per $\Delta \phi -> 0$?
Sì.
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