Compito meccanica razionale
Buonasera a tutti,
volevo chiedere aiuto riguardo la risoluzione di un compito di meccanica razionale.
Il testo del compito potete vederlo nella immagine quì sotto.
Per poter trovare le configurazioni di equilibrio devo prima calcolare le sollecitazioni rispetto alle coordinate lagrangiane:
$Q_\vartheta = -mg[(L+s+2Lcos\vartheta)sen\vartheta]$
$Q_\s = mg[cos\vartheta + 2/L(1-L/s)]$
e poi risolvere il sistema che si ottiene annullandoli.
Vi elenco i passaggi per capire se ho fatto degli errori:
(1) $(L+s+2Lcos\vartheta)sen\vartheta=0$
(2) $cos\vartheta + 2/L(1-L/s)=0$
Dalla (1) $sen\vartheta=0$ $\vartheta=0,\pi$ sostituendo $\vartheta=0$ nella (2) ottengo $s=(2L)/(L+2)$
$S_1=(0,(2L)/(L+2))$
Sostituendo $\vartheta=\pi$ nella (2) ottengo $s=(2L)/(2-L)$
$S_2=(\pi,(2L)/(2-L))$
Dalla (1) $L+s+2Lcos\vartheta=0$ ricavo l'altra coordinata lagrangiana $s=-L(1+2cos\vartheta)$ e cerco il valore di $\vartheta$ sostituendo questo valore nella (2). Ottengo 2 valori:
$cos\vartheta=[-(L+4)+sqrt(L^2-24L+16)]/(4L)$
$cos\vartheta=[-(L+4)-sqrt(L^2-24L+16)]/(4L)$ non accettabile perchè <-1
quindi sostituendo il primo risultato al valore di s trovato ottengo
$S_3=(\bar \vartheta, -2L-4+a)$
$S_4=(-\bar \vartheta, -2L-4+a)$
dove $\bar \vartheta=[-(L+4)+sqrt(L^2-24L+16)]/(4L)$ e $a=sqrt(L^2-24L+16)$
Adesso studio i valori che annullano la (2):
$cos\vartheta+2/L-2/s=0$ --> $cos\vartheta=2/s-2/L$
e quì inizio a perdermi perchè non saprei come ricavare il valore di $\vartheta$ perchè trovo un'equazione con coseno e seno di $\vartheta$.
Fin quì va bene?
Grazie
volevo chiedere aiuto riguardo la risoluzione di un compito di meccanica razionale.
Il testo del compito potete vederlo nella immagine quì sotto.
Per poter trovare le configurazioni di equilibrio devo prima calcolare le sollecitazioni rispetto alle coordinate lagrangiane:
$Q_\vartheta = -mg[(L+s+2Lcos\vartheta)sen\vartheta]$
$Q_\s = mg[cos\vartheta + 2/L(1-L/s)]$
e poi risolvere il sistema che si ottiene annullandoli.
Vi elenco i passaggi per capire se ho fatto degli errori:
(1) $(L+s+2Lcos\vartheta)sen\vartheta=0$
(2) $cos\vartheta + 2/L(1-L/s)=0$
Dalla (1) $sen\vartheta=0$ $\vartheta=0,\pi$ sostituendo $\vartheta=0$ nella (2) ottengo $s=(2L)/(L+2)$
$S_1=(0,(2L)/(L+2))$
Sostituendo $\vartheta=\pi$ nella (2) ottengo $s=(2L)/(2-L)$
$S_2=(\pi,(2L)/(2-L))$
Dalla (1) $L+s+2Lcos\vartheta=0$ ricavo l'altra coordinata lagrangiana $s=-L(1+2cos\vartheta)$ e cerco il valore di $\vartheta$ sostituendo questo valore nella (2). Ottengo 2 valori:
$cos\vartheta=[-(L+4)+sqrt(L^2-24L+16)]/(4L)$
$cos\vartheta=[-(L+4)-sqrt(L^2-24L+16)]/(4L)$ non accettabile perchè <-1
quindi sostituendo il primo risultato al valore di s trovato ottengo
$S_3=(\bar \vartheta, -2L-4+a)$
$S_4=(-\bar \vartheta, -2L-4+a)$
dove $\bar \vartheta=[-(L+4)+sqrt(L^2-24L+16)]/(4L)$ e $a=sqrt(L^2-24L+16)$
Adesso studio i valori che annullano la (2):
$cos\vartheta+2/L-2/s=0$ --> $cos\vartheta=2/s-2/L$
e quì inizio a perdermi perchè non saprei come ricavare il valore di $\vartheta$ perchè trovo un'equazione con coseno e seno di $\vartheta$.
Fin quì va bene?
Grazie
Risposte
Dimmi che hai la soluzione scritta, perche' per me quelle 2 forze elastiche non hanno senso per nulla.
Se supponiamo che siano molle, e che le forze siano espresse in coordinate cartesiane, la forza della molla sulla scanalatura dovrebbe essere $-k(s-L)vectau$ con $vectau$ il versore della scanalatura orientato da O a G.
Le componenti lungo x e y della forza di quella molla dovrebbero dunque essere
$vecF_1=-k(s-L)(sintheta,costheta)$ che non mi pare siano formalmente identiche a quella che scrive il testo e cioe' $vecF_1=(-k(s-L)(P-O)/{abs(P-O}),P)$ dato che P e' un punto e pertanto non si puo' usare come componente. A meno che con un volo di fantasia, non intenda $P_x$, nel qual caso ha usato una notazione da cani e sbagliata pure.
Lo stesso dicasi per la forza $F_2$.
Siccome per te l'importante e' l'esercizio, a meno che tu non abbia la soluzione, ti suggerisco di risolverlo usando le seguenti forze:
$vecF_1=-k(s-L)[vec(P-O)]/abs(absvec(P-O))$
$vecF_2=-k(abs(absvec(G-barG)),0)$ (cioe' il punto $barG$ scorre su y e mantiene la molla sempre orizzontale.
Cosi la vedrei io.
Se supponiamo che siano molle, e che le forze siano espresse in coordinate cartesiane, la forza della molla sulla scanalatura dovrebbe essere $-k(s-L)vectau$ con $vectau$ il versore della scanalatura orientato da O a G.
Le componenti lungo x e y della forza di quella molla dovrebbero dunque essere
$vecF_1=-k(s-L)(sintheta,costheta)$ che non mi pare siano formalmente identiche a quella che scrive il testo e cioe' $vecF_1=(-k(s-L)(P-O)/{abs(P-O}),P)$ dato che P e' un punto e pertanto non si puo' usare come componente. A meno che con un volo di fantasia, non intenda $P_x$, nel qual caso ha usato una notazione da cani e sbagliata pure.
Lo stesso dicasi per la forza $F_2$.
Siccome per te l'importante e' l'esercizio, a meno che tu non abbia la soluzione, ti suggerisco di risolverlo usando le seguenti forze:
$vecF_1=-k(s-L)[vec(P-O)]/abs(absvec(P-O))$
$vecF_2=-k(abs(absvec(G-barG)),0)$ (cioe' il punto $barG$ scorre su y e mantiene la molla sempre orizzontale.
Cosi la vedrei io.
Meglio procedere mediante il potenziale:
e risolvere il seguente sistema:
A rigore, anche se probabilmente non richiesto, visto che il punto materiale è vincolato a scorrere lungo la diagonale:
dovresti discutere anche le posizioni di equilibrio di confine $[s=0] vv [s=2L]$.
@professorkappa
Non mi ero accorto del tuo intervento.
$[V(s,\theta)=mg(s+L)cos\theta-1/2k(s-L)^2-1/2kL^2sin^2\theta] ^^ [k=(2mg)/L] rarr$
$rarr [V(s,\theta)=mg(s+L)cos\theta-(mg)/L(s-L)^2-mgLsin^2\theta]$
e risolvere il seguente sistema:
$\{((s+L)sin\theta+2Lsin\thetacos\theta=0),(cos\theta-2/L(s-L)=0):}$
$\{(sin\theta=0 vv s+L+2Lcos\theta=0),(cos\theta=2/L(s-L)):}$
$\{(sin\theta=0),(+-1=2/L(s-L)):} vv \{(s+L+2Lcos\theta=0),(cos\theta=2/L(s-L)):}$
$\{(\theta=0),(s=3/2L):} vv \{(\theta=\pi),(s=L/2):} vv \{(\theta=\pi-cos^(-1)(4/5)),(s=3/5L):} vv \{(\theta=\pi+cos^(-1)(4/5)),(s=3/5L):}
$
$
A rigore, anche se probabilmente non richiesto, visto che il punto materiale è vincolato a scorrere lungo la diagonale:
$0 lt= \theta lt 2\pi ^^ 0 lt= s lt= 2L$
dovresti discutere anche le posizioni di equilibrio di confine $[s=0] vv [s=2L]$.
@professorkappa
Non mi ero accorto del tuo intervento.
Manco io del tuo!
Ma secondo te, quelle formule sono corrette? A me fanno un po' ribrezzo, sono io che sbaglio?
Ma secondo te, quelle formule sono corrette? A me fanno un po' ribrezzo, sono io che sbaglio?
Confesso di non aver riflettuto sulle notazioni. Ho proceduto per inerzia. Appena possibile le controllo.
"anonymous_0b37e9":
Confesso di non aver riflettuto sulle notazioni. Ho proceduto per inerzia. Appena possibile le controllo.
Infatti hai calcolato il potenziale come ho suggerito io. Molla 1 che agisce con forza lungo la scanalatura e molla 2 in orizzontale.
@professorkappa
In quelle notazioni, il punto $P$ e il punto $G$ (dentro le parentesi graffe e dopo la virgola) sono i punti di applicazione delle due forze, non la loro seconda componente lungo la verticale.
In quelle notazioni, il punto $P$ e il punto $G$ (dentro le parentesi graffe e dopo la virgola) sono i punti di applicazione delle due forze, non la loro seconda componente lungo la verticale.
Maledetto. Mi ha fatto dannare, pensavo ci fosse l'inghippo
Grazie ad entrambi per aver risposto!
Mi dispiace ma purtroppo non ho la soluzione di questo esercizio.
Però prima di avere il coraggio ( 
) di affrontare un esercizio da sola ne ho studiati altri con la sua risoluzione, molto dettagliata.
Mi studio le vostre risposte e torno!
"professorkappa":
Dimmi che hai la soluzione scritta, perche' per me quelle 2 forze elastiche non hanno senso per nulla.
Mi dispiace ma purtroppo non ho la soluzione di questo esercizio.
Però prima di avere il coraggio ( ) di affrontare un esercizio da sola ne ho studiati altri con la sua risoluzione, molto dettagliata. Mi studio le vostre risposte e torno!
Rieccomi.
Ho continuato l'esercizio e ho calcolato la stabilità delle configurazioni di equilibrio trovate. Possibile che siano tutte stabili?
Per il calcolo della stabilità il mio prof ci fa calcolare l'hessiano e quindi il tutto si risolve ad un calcolo di massimi e minimi. Se ottengo un max allora è stabile.
Riguardo al punto 2) dove chiede di trovare le equazioni del moto e gli eventuali integrali primi mi sorge un dubbio.
Devo calcolare l'energia cinetica del sistema che sarà data dalla somma di due contributi $T=T_P + T_(OABC)$ dove P è il punto che scorre sulla diagonale della lamina e OABC sarebbe, appunto, la lamina quadrata.
$T_P= 1/2m (dot s^2 + s^2 dot \vartheta^2)$
Per calcolare invece l'energia cinetica della lamina quadrata OABC che ruota intorno al punto fisso O, devo applicare la formula $T_(OABC)=1/2I_(O,y) dot \vartheta^2$ e quando appare il momento di inerzia inizio a perdermi
Vi scrivo il mio ragionamento. Il momento di inerzia devo calcolarlo rispetto all'asse di rotazione che passa per il punto fisso O. Per far questo applico il Teorema di Huygens e così ottengo che $I_(O,y)=I_(G,y) + m |G-O|^2$, così dovrei semplificare i calcoli perchè sto considerando il momento di inerzia rispetto al baricentro della lamina. Dato che la figura è omogenea deduco che il baricentro si trova alla distanza $L$ dal punto O, nel punto che divide a metà la diagonale del quadrato (la diagonale era 2L). Quindi $I_(G,y)=\int int_(OABC) (G-O)^2dxd\alpha$ ma mi perdo. E' corretto?
Grazie per la pazienza.
Ho continuato l'esercizio e ho calcolato la stabilità delle configurazioni di equilibrio trovate. Possibile che siano tutte stabili?
Per il calcolo della stabilità il mio prof ci fa calcolare l'hessiano e quindi il tutto si risolve ad un calcolo di massimi e minimi. Se ottengo un max allora è stabile.
Riguardo al punto 2) dove chiede di trovare le equazioni del moto e gli eventuali integrali primi mi sorge un dubbio.
Devo calcolare l'energia cinetica del sistema che sarà data dalla somma di due contributi $T=T_P + T_(OABC)$ dove P è il punto che scorre sulla diagonale della lamina e OABC sarebbe, appunto, la lamina quadrata.
$T_P= 1/2m (dot s^2 + s^2 dot \vartheta^2)$
Per calcolare invece l'energia cinetica della lamina quadrata OABC che ruota intorno al punto fisso O, devo applicare la formula $T_(OABC)=1/2I_(O,y) dot \vartheta^2$ e quando appare il momento di inerzia inizio a perdermi
Vi scrivo il mio ragionamento. Il momento di inerzia devo calcolarlo rispetto all'asse di rotazione che passa per il punto fisso O. Per far questo applico il Teorema di Huygens e così ottengo che $I_(O,y)=I_(G,y) + m |G-O|^2$, così dovrei semplificare i calcoli perchè sto considerando il momento di inerzia rispetto al baricentro della lamina. Dato che la figura è omogenea deduco che il baricentro si trova alla distanza $L$ dal punto O, nel punto che divide a metà la diagonale del quadrato (la diagonale era 2L). Quindi $I_(G,y)=\int int_(OABC) (G-O)^2dxd\alpha$ ma mi perdo. E' corretto?
Grazie per la pazienza.
Volendo, si tratta di un momento d'inerzia notevole. Insomma, non è necessario calcolarlo, né esplicitamente, né mediante il teorema del trasporto. Anche se, a richiesta, devi saperlo fare, ovviamente.
Vale $1/6mL^2$?
Più che altro vorrei capire il meccanismo...
Più che altro vorrei capire il meccanismo...
Si tratta di calcolare degli integrali doppi mediante integrali semplici ripetuti. Rispetto a uno qualsiasi dei quattro vertici, conviene porre l'origine del sistema di riferimento (avente gli assi paralleli ai lati della lamina situata nel primo quadrante) sul vertice medesimo:
Rispetto al baricentro, conviene porre l'origine del sistema di riferimento (avente gli assi paralleli ai lati della lamina) sul baricentro medesimo:
Ovviamente, valendo il teorema del trasporto, puoi ricavare uno in funzione dell'altro:
Nel caso in esame:
Ad ogni modo, i contenuti di cui sopra dovrebbero essere già noti prima di affrontare un esame di meccanica razionale.
Strano. Dovresti controllare i conti.
$I_O=\int_M(x^2+y^2)dm=M/A\int_A(x^2+y^2)da=$
$=M/L^2\int_0^Ldx\int_0^Ldy(x^2+y^2)=M/L^2\int_0^Ldx[x^2y+y^3/3]_0^L=$
$=M/L\int_0^Ldx(x^2+L^2/3)=M/L[x^3/3+L^2/3x]_0^L=2/3ML^2$
Rispetto al baricentro, conviene porre l'origine del sistema di riferimento (avente gli assi paralleli ai lati della lamina) sul baricentro medesimo:
$I_G=\int_M(x^2+y^2)dm=M/A\int_A(x^2+y^2)da=$
$=M/L^2\int_(-L/2)^(L/2)dx\int_(-L/2)^(L/2)dy(x^2+y^2)=M/L^2\int_(-L/2)^(L/2)dx[x^2y+y^3/3]_(-L/2)^(L/2)=$
$=M/L\int_(-L/2)^(L/2)dx(x^2+L^2/12)=M/L[x^3/3+L^2/12x]_(-L/2)^(L/2)=1/6ML^2$
Ovviamente, valendo il teorema del trasporto, puoi ricavare uno in funzione dell'altro:
$[I_O=I_G+Mbar(OG)^2] ^^ [bar(OG)=sqrt2/2L] rarr [2/3ML^2=1/6ML^2+1/2ML^2]$
Nel caso in esame:
$[M rarr m] ^^ [L rarr sqrt2L] rarr [I_O=4/3mL^2]$
Ad ogni modo, i contenuti di cui sopra dovrebbero essere già noti prima di affrontare un esame di meccanica razionale.
"Samy21":
Possibile che siano tutte stabili?
Strano. Dovresti controllare i conti.
Grazie Sergeant per la pazienza.
Ho controllato e avevo sbagliato un segno.
$Q_(\vartheta \vartheta)= 4Lcos^2 \vartheta + (L+s)cos\vartheta - 2L$
$Q_(\vartheta s)= sen \vartheta$
$Q_(s s)= -2/L$
con questi valori ottengo che solo le ultime due sono stabili...
2) EQUAZIONI DEL MOTO
In base a questo valore del momento d'inerzia, ottengo l'energia cinetica $T= 1/2m (dot s^2 + s^2 dot \vartheta^2) + 2/3mL^2 dot \vartheta^2$
e da questa ottengo le equazioni del moto
$m \ddot s + ms dot \vartheta^2=mg[cos \vartheta - 2/L(s-L)]$
$m dot s^2 dot \vartheta + m dot s^2 ddot \vartheta+2/3mL^2 dot \vartheta = -mg [(L+s+2Lcos \vartheta) sen\vartheta$
Abbiamo un solo integrale primo $E=T-U$, dovuto alle forze conservative.
Ci sono errori?
Mi sto iniziando a perdere d'animo con quest'esame di meccanica razionale, non ce la posso fare
"anonymous_0b37e9":
Strano. Dovresti controllare i conti.
Ho controllato e avevo sbagliato un segno.
$Q_(\vartheta \vartheta)= 4Lcos^2 \vartheta + (L+s)cos\vartheta - 2L$
$Q_(\vartheta s)= sen \vartheta$
$Q_(s s)= -2/L$
con questi valori ottengo che solo le ultime due sono stabili...
2) EQUAZIONI DEL MOTO
In base a questo valore del momento d'inerzia, ottengo l'energia cinetica $T= 1/2m (dot s^2 + s^2 dot \vartheta^2) + 2/3mL^2 dot \vartheta^2$
e da questa ottengo le equazioni del moto
$m \ddot s + ms dot \vartheta^2=mg[cos \vartheta - 2/L(s-L)]$
$m dot s^2 dot \vartheta + m dot s^2 ddot \vartheta+2/3mL^2 dot \vartheta = -mg [(L+s+2Lcos \vartheta) sen\vartheta$
Abbiamo un solo integrale primo $E=T-U$, dovuto alle forze conservative.
Ci sono errori?
Mi sto iniziando a perdere d'animo con quest'esame di meccanica razionale, non ce la posso fare
Mi sembra che tu abbia le idee molto piu' chiare di quanto tu stessa non creda. Devi solo cominciare a stuccare qualche crepa, ma le basi ci sono e mi sembrano solide.
Vorrei tornare al momento di inerzia della lamina, visto che dici che quello e' uno dei tuoi punti deboli.
Sergeant te lo ha impostato correttamente, con gli integrali doppi.
Io vorrei mostrarti un altro modo, con integrali semplici. Prendila come un ulteriore piccolo attrezzo da mettere nella cassetta.
Considera la figura: una lamina di lati a e b generici.
Individuata una strisciolina larga $dx$, lunga $a$, il cui baricentro P e' a distanza x dal baricentro G, questa puo' essere considerata come un'asta sottile di lunghezza, appunto, $a$. Come ti e' gia stato fatto notare, qualche momento di inerzia notevole lo devi conoscere a memoria, perche aiuta.
Quello di un'asta lunga $a$ e' $[M*a^2]/12$. Quindi quella "asta" tratteggiata in figura avra' momento di inerzia (rispetto a P, suo baricentro)
$dI_P=dm*a^2/12$
Applicando Huygens Steiner, otterrai che il momento di inerzia rispetto a G sara'
$dI_G=dm*a^2/12+dmx^2$.
Ma $dm=rhodA=rho*a*dx$ e quindi potrai scrivere:
$dI_G=rho*a*a^2/12dx+rho*a*x^2dx=rho*a(a^2/12+x^2)dx$
Che andra' integrata tra $-b/2$ e $b/2$. Ma vista la simmetria e la additivita' dei momenti di inerzia, possiamo integrare piu' facilmente tra 0 e $b/2$ e moltiplicare per 2 il risultato. Cioe':
$I_G=2rho*a*int_(0)^(b/2) (a^2/12+x^2) dx =2rho*a([a^2b]/24+b^3/8)$
Siccome $rho=M/[ab]$
$I_G=M/[ab]a(a^2b/12+b^3/4)=M(a^2/12+b^2/4)=M(a^2+3b^2)/12$.
Nel tuo caso $a=b=Lsqrt(2)$ quindi
$I_G=M(2L^2+3*2L^2)/12=M*8/12L^2=2/3ML^2$
Il procedimento non e' molto piu' complicato di quello di Sergeant, ma ti slega dagli integrali doppi. A te scegliere quello che ti sembra piu' intituivo. Pero' qualche momento di inerzia rimandalo a mente, mi raccomando!!!
Vorrei tornare al momento di inerzia della lamina, visto che dici che quello e' uno dei tuoi punti deboli.
Sergeant te lo ha impostato correttamente, con gli integrali doppi.
Io vorrei mostrarti un altro modo, con integrali semplici. Prendila come un ulteriore piccolo attrezzo da mettere nella cassetta.
Considera la figura: una lamina di lati a e b generici.
Individuata una strisciolina larga $dx$, lunga $a$, il cui baricentro P e' a distanza x dal baricentro G, questa puo' essere considerata come un'asta sottile di lunghezza, appunto, $a$. Come ti e' gia stato fatto notare, qualche momento di inerzia notevole lo devi conoscere a memoria, perche aiuta.
Quello di un'asta lunga $a$ e' $[M*a^2]/12$. Quindi quella "asta" tratteggiata in figura avra' momento di inerzia (rispetto a P, suo baricentro)
$dI_P=dm*a^2/12$
Applicando Huygens Steiner, otterrai che il momento di inerzia rispetto a G sara'
$dI_G=dm*a^2/12+dmx^2$.
Ma $dm=rhodA=rho*a*dx$ e quindi potrai scrivere:
$dI_G=rho*a*a^2/12dx+rho*a*x^2dx=rho*a(a^2/12+x^2)dx$
Che andra' integrata tra $-b/2$ e $b/2$. Ma vista la simmetria e la additivita' dei momenti di inerzia, possiamo integrare piu' facilmente tra 0 e $b/2$ e moltiplicare per 2 il risultato. Cioe':
$I_G=2rho*a*int_(0)^(b/2) (a^2/12+x^2) dx =2rho*a([a^2b]/24+b^3/8)$
Siccome $rho=M/[ab]$
$I_G=M/[ab]a(a^2b/12+b^3/4)=M(a^2/12+b^2/4)=M(a^2+3b^2)/12$.
Nel tuo caso $a=b=Lsqrt(2)$ quindi
$I_G=M(2L^2+3*2L^2)/12=M*8/12L^2=2/3ML^2$
Il procedimento non e' molto piu' complicato di quello di Sergeant, ma ti slega dagli integrali doppi. A te scegliere quello che ti sembra piu' intituivo. Pero' qualche momento di inerzia rimandalo a mente, mi raccomando!!!
"professorkappa":
Prendila come un ulteriore piccolo attrezzo da mettere nella cassetta.
Grazie per il prezioso contributo. Anche perché, almeno ai miei tempi e già al primo anno, non di rado era richiesto il calcolo esplicito di alcuni momenti d'inerzia. Non si utilizzavano certamente gli integrali doppi, argomento del secondo anno come ben sai. Tra l'altro, era uno dei modi con cui si cominciava a prendere confidenza con l'integrale, scusa l'abuso di linguaggio, più da un punto di vista fisico che puramente matematico. Le cose sono certamente cambiate da un pezzo. A mio parere, a macchia di leopardo. Del resto, anche in questo forum, a qualcuno capita di proporre esercizi di fisica del primo anno piuttosto impegnativi.
"professorkappa":
Mi sembra che tu abbia le idee molto piu' chiare di quanto tu stessa non creda. Devi solo cominciare a stuccare qualche crepa, ma le basi ci sono e mi sembrano solide.
Grazie mille per le belle parole, mi confortano molto. Purtroppo sono realista, mi rendo conto che è un esame molto difficile e anche il più piccolo sbaglio può compromettere tutto.
"professorkappa":
Vorrei tornare al momento di inerzia della lamina, visto che dici che quello e' uno dei tuoi punti deboli.
Grazie, si purtroppo è il mio tallone di Achille. Non mi preoccupo tanto dell'aspetto matematico (integrali doppi o tripli) anche perchè generalmente si risolve nel calcolo di semplici integrali singoli, come ha ben detto Sergeant. Il mio problema sostanzialmente è l'impostazione iniziale del problema.
Scegliere come intervallo d'integrazione $0$ e $b/2$ significa che invece di considerare tutto il corpo stiamo considerando lo spicchio che va da G a P, giusto?
Invece, nel calcolo dell'integrale $int_(0)^(b/2) (a^2/12+x^2) dx=a^2/12 int_(0)^(b/2)dx + int_(0)^(b/2) x^2dx $ non capisco dove sparisce il fattore $1/3$ che otteniamo dall'ultimo integrale
"professorkappa":
Il procedimento non e' molto piu' complicato di quello di Sergeant, ma ti slega dagli integrali doppi. A te scegliere quello che ti sembra piu' intituivo. Pero' qualche momento di inerzia rimandalo a mente, mi raccomando!!!
Si, sicuramente avere più attrezzi nella cassetta aiuta anche nel momento peggiore
Finalmente grazie ai due vostri interventi chiarissimi ho capito molte cose, domani verifico cercando di risolvere altri esercizi.Comunque ho già scaricato le tavole con i momenti d'inerzia notevoli e conto di impararli nel minor tempo possibile.
'Sti momenti d'inerzia finirò per sognarmeli pure la notte
Grazie mille ragazzi, non potete immaginare l'aiuto che mi avete dato!!
Il mio problema sostanzialmente è l'impostazione iniziale del problema
Ma secondo me il problema è che non hai mai calcolato un momento d'inerzia...(o fatto un integrale doppio o triplo)
"Vulplasir":
Ma secondo me il problema è che non hai mai calcolato un momento d'inerzia...
Si, non ho mai calcolato momenti d'inerzia prima d'ora. Non so perché ma nel compito di fisica 1 ci han fatto saltare la parte di meccanica e ora son problemi.
No, non c'entra niente fisica1,i momenti di inerzia sono argomento di mrccanica razionale, sono una parte consistente del programma (momenti rispetto a un punto, a una retta, a un piano...tensore d'inerzia etc)..per saperli svolgere...li devi semplicemente fare, di certo non scaricare le tabelle dei momenti di inerzia.
"Vulplasir":
No, non c'entra niente fisica1,i momenti di inerzia sono argomento di mrccanica razionale
Sicuramente i tensori d'inerzia sono un argomento solo di meccanica razionale. I momenti d'inerzia si trovano anche in fisica 1.
Dal post stesso si capisce che non sto cercando di bypassare il problema semplicemente imparando a memoria i momenti ma, come giustamente mi hanno consigliato, è importante sapere qualche valore noto solo per perdere meno tempo.
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