Commutatore in MQ
Ho un grandissimo dubbio che non riesco a chiarirmi
So che se due osservabili commutano in generale condividono una base di autostati (cioè mi è stato dimostrato vero se non ho degenerazione) ma è stato detto in calsse che è vero più in generale anche estendendo agli autospazi (prima domanda quindi: come si dimostra la versione più generica)
Avrei poi una seconda domanda, mettiamo appunto di avere ad esempio due osservabili che commutano $[A,B]=0$ il fatto è che mi pare possano sussistere due casistiche, gli autostati sono gli stessi perchè sono del tipo $|a>⊗|b>$ oppure perché condividono lo stesso stato $|c>$. Ma come faccio a distinguere le due casistiche?
Mi sembra importante poterlo distinguere perché ad esempio prendiamo il caso concreto $[H,p]=0$ condividono le stesse autofunzioni/autostati ma siamo nel caso del prodotto tensoriale di spazi di Hilbert, oppure in quello del medesimo identico stato?
Se fossimo nel caso del ⊗ (con spazi di H di dim=2) e A e B con autostati etichettati da 1 e 2: ad esempio io potrei avere che l'autostato di $A$ è $|a_1>$ e quindi gli autostati di B con autovalore b1 sono tutti quelli che hanno $|a_i>⊗|b_1>, i in {1,2}$ mentre se l'autostato è $|c_1>$ corrispondente ad autovalore a1 per A; allora per B è l'unico che dà valore b1 ossia $|c_1>$ di nuovo.
In H e p in quale delle due casistiche siamo?
Qualcuno sa dirimere i miei due dubbi
? Ringrasio.
So che se due osservabili commutano in generale condividono una base di autostati (cioè mi è stato dimostrato vero se non ho degenerazione) ma è stato detto in calsse che è vero più in generale anche estendendo agli autospazi (prima domanda quindi: come si dimostra la versione più generica)
Avrei poi una seconda domanda, mettiamo appunto di avere ad esempio due osservabili che commutano $[A,B]=0$ il fatto è che mi pare possano sussistere due casistiche, gli autostati sono gli stessi perchè sono del tipo $|a>⊗|b>$ oppure perché condividono lo stesso stato $|c>$. Ma come faccio a distinguere le due casistiche?
Mi sembra importante poterlo distinguere perché ad esempio prendiamo il caso concreto $[H,p]=0$ condividono le stesse autofunzioni/autostati ma siamo nel caso del prodotto tensoriale di spazi di Hilbert, oppure in quello del medesimo identico stato?
Se fossimo nel caso del ⊗ (con spazi di H di dim=2) e A e B con autostati etichettati da 1 e 2: ad esempio io potrei avere che l'autostato di $A$ è $|a_1>$ e quindi gli autostati di B con autovalore b1 sono tutti quelli che hanno $|a_i>⊗|b_1>, i in {1,2}$ mentre se l'autostato è $|c_1>$ corrispondente ad autovalore a1 per A; allora per B è l'unico che dà valore b1 ossia $|c_1>$ di nuovo.
In H e p in quale delle due casistiche siamo?
Qualcuno sa dirimere i miei due dubbi
? Ringrasio.
Risposte
Per la prima domanda: se due operatori lineari commutano, ciascuno è stabile sugli autospazi dell'altro. Ciò significa che anche se la base diagonalizzante dell'uno non coincide con quella dell'altro (può succedere ogni volta che qualche autospazio ha dimensione strettamente maggiore di 1), esiste comunque una terza base in cui entrambi sono diagonali.
L'enunciato preciso è:
1. $A,B$ sono simultaneamente diagonalizzabili, i.e. esiste un cambio di base in cui sia $A$ che $B$ sono diagonali;
2. $[A,B]=0$. (Corollario di ciò è la stabilità di $A$ sugli autospazi di $B$ e viceversa).
L'enunciato preciso è:
1. $A,B$ sono simultaneamente diagonalizzabili, i.e. esiste un cambio di base in cui sia $A$ che $B$ sono diagonali;
2. $[A,B]=0$. (Corollario di ciò è la stabilità di $A$ sugli autospazi di $B$ e viceversa).
Ciao, si mi sembra proprio quello che cercavo. Ma sai dove potrei trovare una dimostrazione non avendola svolta in classe di corso?
E poi, per la seconda domanda? Cosa si può dire, vorrei capire quel dubbio.
E poi, per la seconda domanda? Cosa si può dire, vorrei capire quel dubbio.
Ma sai dove potrei trovare una dimostrazione non avendola svolta in classe di corso?Dimostralo tu, è facile (in dimensione finita). Dalla stabilità di $B$ sugli autospazi di $A$, deduci che se in una base \(\cal V\) la matrice $A$ è diagonale, esiste una base \(P\cal V\) in cui $B$ è diagonale. Questa domanda non ha niente a che fare con la meccanica quantistica, è una domanda di algebra lineare (che prima di studiare MQ uno dovrebbe aver già passato...)
Sì, ma in effetti l'ho studiata algebra lineare, ma non mi era mai stata mostrata quella proprietà cui accennavi e fino ad oggi non avendoci mai più ragionato sopra non me ne ero mai accorto.
Conta che a fisica l'ho vista 1 volta 3 anni fa e mai più indagata, può succedere che finisca nel cassetto, no?
Non è una scusante ma mi pare possa succedere.
E' come se ti chiedessi di dirmi il ciclo otto. L'avrai visto anni fa e mai più ci avrai ragionato.
Conta che a fisica l'ho vista 1 volta 3 anni fa e mai più indagata, può succedere che finisca nel cassetto, no?
Non è una scusante ma mi pare possa succedere.
E' come se ti chiedessi di dirmi il ciclo otto. L'avrai visto anni fa e mai più ci avrai ragionato.
@megas_archon ci ho provato in alcuni modi e a riformualre la proposizione a me utile ma mi incastro in un verso
Voglio dimostrarmi due proposizioni
a) SeA e B hanno una base comune di autovettori. Allora AB = BA
Me la sono dimostrata in due modi:
- avendo una abse comune di autovettori sono diagonalizzabili, quindi $AB = (PD_AP^-1 )(P D_BP^1 ) = BA$
- prendo un autovettore e faccio $Bpsi$ da cui trovo l'autovalore b e poi a e mostro che è identico a $BApsi$
Qui devo tenermi l'ipotesi di diagonalizzabilità:
se A e B commutano (e son diagonalizzabili) allora esiste una base comune di autostati
- qui mi blocco perché trovo i vari autovalori, ma non riesco poi a ricavare la base che vorrei, non mi potresti dare una mano? plz
Se hai gentilemnte voglia di leggere il messaggio ti rinrazio. Buona serata
Voglio dimostrarmi due proposizioni
a) SeA e B hanno una base comune di autovettori. Allora AB = BA
Me la sono dimostrata in due modi:
- avendo una abse comune di autovettori sono diagonalizzabili, quindi $AB = (PD_AP^-1 )(P D_BP^1 ) = BA$
- prendo un autovettore e faccio $Bpsi$ da cui trovo l'autovalore b e poi a e mostro che è identico a $BApsi$
Qui devo tenermi l'ipotesi di diagonalizzabilità:
se A e B commutano (e son diagonalizzabili) allora esiste una base comune di autostati
- qui mi blocco perché trovo i vari autovalori, ma non riesco poi a ricavare la base che vorrei, non mi potresti dare una mano? plz
Se hai gentilemnte voglia di leggere il messaggio ti rinrazio. Buona serata
Se \(AB-BA=0\) e \(V_\lambda\) è un autospazio di $A$, allora \(BV_\lambda \subseteq V_\lambda\); questo è ovvio. Ora, se ogni \(V_\lambda\) ha dimensione 1 non c'è molto da dimostrare, la stessa base che diagonalizza $A$ fa lo stesso per $B$; invece, quando \(\dim V_\lambda \ge 2\), quello che succede è che per ogni \(v_\lambda\in V_\lambda\), l'immagine mediante $B$, \(Bv_\lambda\), è una combinazione lineare di autovettori relativi a \(\lambda\)... Ora come fai per trovare una combinazione lineare di autovettori per \(\lambda\) che diagonalizza $B$?
Ah grazie forse ci sono:
siccome è diagonalizzabile gli autospazi sono in somma diertta di (chiamiamoli Wi autospazi) e quindi v ha la scrittura unica, sicché i vari $Bw_i - lambda_iw_i=0$. Questo perché come hai detto BVλ⊆Vλ (cioè sottospazio invariante).
Da questo posso poi affemrare che uno di essi8cioè dei w) è non nullo dato che la somma dà v.
A questo punto mettendo assieme tutti i wi che trovo dalle scritture uniche per somme dirette dei vari vj ho un insieme di autovettori comuni per A e B, d'altra parte sono un sistema di generatori dato che le loro somme danno tutti i vj che generano lo spazio V totale.
A questo punto mi basta estrarre una base.
Ti ringrazio molto per aver resuscitato reminiscenze di anni fa. però mi piacerebe ora contnuare sul secondo dubbio:
Mi potresti per favore dare una mano
siccome è diagonalizzabile gli autospazi sono in somma diertta di (chiamiamoli Wi autospazi) e quindi v ha la scrittura unica, sicché i vari $Bw_i - lambda_iw_i=0$. Questo perché come hai detto BVλ⊆Vλ (cioè sottospazio invariante).
Da questo posso poi affemrare che uno di essi8cioè dei w) è non nullo dato che la somma dà v.
A questo punto mettendo assieme tutti i wi che trovo dalle scritture uniche per somme dirette dei vari vj ho un insieme di autovettori comuni per A e B, d'altra parte sono un sistema di generatori dato che le loro somme danno tutti i vj che generano lo spazio V totale.
A questo punto mi basta estrarre una base.
Ti ringrazio molto per aver resuscitato reminiscenze di anni fa. però mi piacerebe ora contnuare sul secondo dubbio:
Avrei poi una seconda domanda, mettiamo appunto di avere ad esempio due osservabili che commutano $[A,B]=0$ il fatto è che mi pare possano sussistere due casistiche, gli autostati sono gli stessi perchè sono del tipo $|a>⊗|b>$ oppure perché condividono lo stesso stato $|c>$. Ma come faccio a distinguere le due casistiche?
Mi sembra importante poterlo distinguere perché ad esempio prendiamo il caso concreto $[H,p]=0$ condividono le stesse autofunzioni/autostati ma siamo nel caso del prodotto tensoriale di spazi di Hilbert, oppure in quello del medesimo identico stato?
Se fossimo nel caso del ⊗ (con spazi di H di dim=2) e A e B con autostati etichettati da 1 e 2: ad esempio io potrei avere che l'autostato di $A$ è $|a_1>$ e quindi gli autostati di B con autovalore b1 sono tutti quelli che hanno $|a_i>⊗|b_1>, i in {1,2}$ mentre se l'autostato è $|c_1>$ corrispondente ad autovalore a1 per A; allora per B è l'unico che dà valore b1 ossia $|c_1>$ di nuovo.
In H e p in quale delle due casistiche siamo?
Qualcuno sa dirimere i miei due dubbi
Mi potresti per favore dare una mano
@megas_archon: fammi solo sapere se puoi rispondermi sulla seconda. Altrimenti provo a dividere la domanda in una nuva e lasciare questo topico solo per la prima. Perché noto che domande già niziate trovano meno utenti che han voglia di rispondere. Grazie mille
Finché non spieghi cosa diavolo hai scritto c'è poca speranza io ti possa rispondere. O ti accontenti dei rigurgiti acidi di un libro di fisica, oppure scrivi in linguaggio matematico la domanda. A e B adesso sono definiti su uno spazio che si scrive come prodotto tensore di due spazi più elementari? Se sì, cosa stai chiedendo, cosa diventa il teorema di prima in questo caso? E quali sono le "due casistiche" di cui parli?
Finché non spieghi cosa diavolo hai scritto c'è poca speranza io ti possa rispondere. O ti accontenti dei rigurgiti acidi di un libro di fisicaEh lo so, ma non è facile: se il testo ti spiega certe cose non è che so inventarmele da solo, se questa è stata l'istruzione che ho avuto. Quello che voglio fare è proprio capire, infatti, se sapessi non starei chiedendo lumi qui
.Il fatto è che in MQ si identificano gli autostati di certi operatori con l'etichetta data dagli autovalori stessi.
Ad esmpio siano $H$ e $p$ gli operatori in questione. Dunque:
$H|a> = a|a>$ e $p|b> = b|b>$
Vengono poi definiti gli spazi $H=H_1⊗H_2$ come prodotto tensore in modo stolto come data la base per un H1 ${|a>}$ e H2 ${|b>}$ quelli che hanno base ${|a>⊗|b>}$ in tutte le combinazioni possibili.
A questo punto mi è sorto il dubbio, dato il teorema di cui abbiamo parlato dato che H e p commutano essi condividono base di autostati, e fin qui è chiaro ma...
Ora, il punto è che quando ho due operatori $A$ che lavora sullo spazio $H_1$ e $B$ che lavora sullo spazio $H_2$ posso definire l'operatore $M=A⊗B$ con ciascuno che lavora sul proprio spazio.
Quello che sto chiedendo è che quando io ho l'autostato ${|a>⊗|b>}$ lo scrivo come ${|ab>}$ a questo punto è evidente che $A|ab> =A|a>⊗|b> =a|a>⊗|b> =a|ab>$ e ciascuno (tra A e B esistendo una relazione identica per B) tira fuori nell'equazione agli autovalori l'autovalore corrispondente: ed ecco che abbiamo la base comune di autostati |a,b> appunto. E' inoltre chiaro che $[A,B]=0$.
Quindi da questo esempio posso dire A e B commutano => e in effetti condividono base di autostati $|ab>$, solo che in questo caso la base di autostati comune è data proprio da autostati di A e autostati di B legati dal ⊗.
Consideriamo invece un caso come $ A=( ( 1 , 0 ,0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $ e $B= ( ( 1 , 1 ,1 ),( 1 , 1 , 1),(1 , 1 , 1 ) )$ essi commutano e infatti condividono base di autostati ${v_1,v_2,v_3}$ ma a questo punto l'autostato/autovettore $v_1$ qui è lo stesso vettore colonna su cui posso applicare A o B. Cioè: A e B agiscono su tutto l'autovettore $v_i$, non solo su una parte.
Nell'esempio precedente $|a,b>$ è sì l'autostato comune, ma semplicemente perché A opera sulla sola parte di $|a>$ lasciando immutata quella su $|b>$, c'è una differenza nei due approcci.
Non viene però spiegato da nessuna parte (dei rigurgiti fisici
) come fare a capire in quale delle due evenienze io sia.Ad esempio $[H,p]=0$ ma io sono nel primo caso o perché sono nel secondo?
Mentre gli operatori posizione, ad esempio $[x,y]=0=[x,z]=[z,y]$ commutano proprio perché sono nel primo caso.
"megas_archon":
Per la prima domanda: se due operatori lineari commutano, ciascuno è stabile sugli autospazi dell'altro. Ciò significa che anche se la base diagonalizzante dell'uno non coincide con quella dell'altro (può succedere ogni volta che qualche autospazio ha dimensione strettamente maggiore di 1), esiste comunque una terza base in cui entrambi sono diagonali.
L'enunciato preciso è:
1. $A,B$ sono simultaneamente diagonalizzabili, i.e. esiste un cambio di base in cui sia $A$ che $B$ sono diagonali;
2. $[A,B]=0$. (Corollario di ciò è la stabilità di $A$ sugli autospazi di $B$ e viceversa).
questa cosa fa al caso mio, ma sarebbe di mio interesse spingermi oltre e chiedere: se [A,B]=0 e [A,C]=0 e [B,C]=0 (cioè commutano tutti tra loro) come si dimostra che c'è una base comune a tutti quanti che li diagonalizza in maniera simultanea?
Infatti [A,B]=0 mi dice che può esistere q base comune tra loro; [A,C]=0 dice che ho w comune e [B,C]=0 e comune. Ma questo mi dice che posso avere q w e diverse. Io però so che se commutano tra tutti esiste base unica. Come si dimostra però è per me un mistero ad ora. Mi aiuteresti a dimostrare questa proprietà?
$A$ è diagonale in due basi, quella che viene da [A,B]=0 e quella che viene da [A,C]=0. Possono le due basi essere diverse? Se sì, sono irrimediabilmente diverse o si può fare una magia e...?
Grazie!
Infine, capito quanto sopra nei due punti non capisco perché se [B,C]=0 garantisca che da [A,B]=0 e [A,C]=0 le due basi non siano irrimediabilmente diverse, ma che psoso fare la magia
Possono le due basi essere diverse? Se sì, sono irrimediabilmente diversequesta cosa è vera, nel senso che se sono diverse sono diverse punto e non posso renderla comune, però lo prendo come un dato di fatto ma mi sfugge come visualizzare il motivo. perché? non ci arrivo. vorrei capire profondamente il perché per dire di aver compreso.
o si può fare una magia e...?così su due piedi mi pare che (ammesso di aver capito la cosa di essere irrimediabilmente diverse) posso far si che siano la stessa base (normalizzando i vettori in qualche modo tra le due), cioè penso che i vettori delle due basi siano solo multipli gli uni degli altri in tal caso? Però vado a intuito perche anche qui mi sfugge il motivo profondo.
Infine, capito quanto sopra nei due punti non capisco perché se [B,C]=0 garantisca che da [A,B]=0 e [A,C]=0 le due basi non siano irrimediabilmente diverse, ma che psoso fare la magia
Pssp chiederti un ulteriore aiuto? Mi interessava per il mio esame di algebra lineare. Anche se qui di MQ è prorpio la stessa cosa di cui avevo bisogno io .
.
"megas_archon":Nella prima base \(\mathcal B_{AB}=\{v_1,\dots,v_n\}\), $A$ e $B$ sono simultaneamente diagonali. Nella seconda base, \(\mathcal B_{AC}=\{w_1,\dots,w_n\}\), $A$ e $C$ sono simultaneamente diagonali. Ciascun \(w \in V_\alpha^{AC}\) (autovettore di autovalore $\alpha$, nella base \(\mathcal B_{AC}\)) deve essere una combinazionale lineare degli autovettori relativi ad $\alpha$ rispetto a \(\mathcal B_{AB}\).
$A$ è diagonale in due basi, quella che viene da [A,B]=0 e quella che viene da [A,C]=0.
Se vuoi, puoi anche ragionare su cosa fanno i due cambi di base
\[\langle v_1,\dots,v_n\rangle \underset Q{\overset{P}\leftrightarrows} \langle w_1,\dots,w_n\rangle\] agli autospazi di $A,B,C$.
deve essere una combinazionale lineare degli autovettori relativi ad α rispetto a BABquesto però non vuol dire che la nuova base diagonlizzi anche B, cioè se faccio $Bw=Bsum_i c_iv_i$ potrei non avere un autovalore.
In sostanza quello che volevo dire io è che se ho $[A,B]=0$ e $[A,C]=0$ potrebbe essere che $[B,C]!=0$ e quindi tra B e C non c'è base comune di autovettori che diagonalizzi entrambe.
Mentre quando so che $[A,B]=0$ e $[A,C]=0$ e $[B,C]=0$ so che esiste. Però appunto io posso trovare quella che diagonalizza i due del primo commutatore e la chiamo B, la seconda B' e la terza B"
Chi mi dice però che posso trovare una base comune a tutti e 3? E' qeusto passo che mi manca, non so se ho spiegato meglio.
Quello che dici tu mi sembra di averlo capito invece.
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