Commutatore fra operatori posizione e q.d.m.

[cla291]

Buongiorno,

non riesco bene a comprendere come provare la commutazione fra indici diversi del commutatore posizione-q.d.m. in tre dimensioni. Esempio:

$ [hat(X)_x ,hat(p) _y]=(hat(X) _x hat(p) _y - hat(p) _yhat(X) _x)phi (x,y,z)=hat(X) _x(h/i partial /(partial y) phi(x,y,z) )-h/ipartial /(partial y) (hat(X)_x phi(x,y,z) )$

arrivato a questo punto non so bene come si comporta l'operatore posizione; nel primo termine agisce su di una derivata rispetto a y, dunque la derivata non dipenderà da x. Ipotizzo allora che l'operatore come nel caso unidimensionale, $ hat(X_x) f(x)=xf(x) $, abbia bisogno di una funzione di x e senza dia zero come risultato.

Per il secondo termine, ho le stesse difficoltà, da quello che ho capito nel caso unidimensionale, l'azione dell'operatore posizione mi dovrebbe restituire solo una funzione di x per cui la derivata prodotto rispetto a y è zero: $ h/ipartial /(partial y) (hat(X_x) phi(x,y,z))=h/ipartial /(partial y)(xphi(x)) $

Ho la sensazione che questo ragionamento si sbagliato. Potreste aiutarmi?

[tottomagoog]

Ciao. E' molto più semplice di quello che credi, non serve inventare nulla hai già scritto tutto nella prima riga. La $\phi$ è funzione delle tre coordinate, quindi se hai una derivata rispetto ad una certa coordinata della funzione d'onda, tale derivata permane, ovviamente. Qui la derivata è rispetto ad $y$ quindi la $x$ , che come giustamente dici va a moltiplicare $\phi$, può essere portata fuori. A quel punto hai qualcosa del tipo

$x h/i [\partial/partial_y\phi - \partial/partial_y\phi ] = 0$ per forza


Quindi fermati al primo rigo e di certo non gettare via coordinate solo perchè vuoi ottenere un certo risultato.

[cla291]

Buonasera,

ti ringrazio per la tua risposta. Credo di aver capito. il primo termine lo considero come l'azione dell'operatore posizione sulla funzione derivata parziale di phi senza preoccuparmi del risultato della derivata stessa che potrebbe anche non dipendere più da x. Mentre nel secondo termine l'azione dell'operatore posizione mi restituisce x che moltiplica la funzione originale. Giusto?

[tottomagoog]

Sì diciamo che non c'è una diversa interpretazione, gli operatori sono sempre gli stessi ed agiscono sempre nello stesso modo. Semplicemente, dato che le derivate non dipendono da x e tantomeno dalle altre costanti, la loro differenza è per forza nulla, quale che sia il loro valore (che naturalmente non può essere infinito per natura stessa della funzione d'onda)