Come si risolve sistema per punti di equilibrio
Salve a tutti!
Ho un forte dubbio su come si risolvono i sistemi di per trovare le posizioni di equilibro:
Per esempio sono alle prese con questo problema dove ho ricavato il potenziale, poi ho derivato rispetto alle due coordinate lagrangiane ($vartheta, varphi$) e ho ottenuto:
$2cos(vartheta)+varphicos(vartheta)-lambda*sin(vartheta)*cos(vartheta) = 0$
$sin(vartheta) -varphi =0$
In classe di solito il professore/esercitatore non risolve mai il sistema in maniera adeguata esplicitando tutto ma spesso va a "occhio" tipo dicendo "la prima si annulla per $cos(vartheta) = 0$ allora quella è una soluzione e poi mi ricavo $varphi$. Lo stesso nella seconda per cui pongo $varphi = 0, sin(vartheta)= 0$ e trovo dei punti.
Mi sembra che una volta post lezione abbia detto ad un ragazzo che non è lecito esprimere dalla seconda $ varphi = sin(vartheta)$ e continuare perchè cosi si creerebe un legame fra le variabili lagrangiane che devono essere indipendenti. Eppure il libro degli esercizi lo fa: qualcuno potrebbe illuminarmi ?
Ho un forte dubbio su come si risolvono i sistemi di per trovare le posizioni di equilibro:
Per esempio sono alle prese con questo problema dove ho ricavato il potenziale, poi ho derivato rispetto alle due coordinate lagrangiane ($vartheta, varphi$) e ho ottenuto:
$2cos(vartheta)+varphicos(vartheta)-lambda*sin(vartheta)*cos(vartheta) = 0$
$sin(vartheta) -varphi =0$
In classe di solito il professore/esercitatore non risolve mai il sistema in maniera adeguata esplicitando tutto ma spesso va a "occhio" tipo dicendo "la prima si annulla per $cos(vartheta) = 0$ allora quella è una soluzione e poi mi ricavo $varphi$. Lo stesso nella seconda per cui pongo $varphi = 0, sin(vartheta)= 0$ e trovo dei punti.
Mi sembra che una volta post lezione abbia detto ad un ragazzo che non è lecito esprimere dalla seconda $ varphi = sin(vartheta)$ e continuare perchè cosi si creerebe un legame fra le variabili lagrangiane che devono essere indipendenti. Eppure il libro degli esercizi lo fa: qualcuno potrebbe illuminarmi ?
Risposte
Siano $q = (\theta, \phi)$, $V(q)$ il potenziale.
Lo spazio delle configurazioni del sistema è la 2-varietà $\mathbb{S}^2$, q è una carta di coordinate su questa varietà, e le componenti sono ovviamente indipendenti. Tu stai cercando la sottovarietà in cui $\frac{\partial V}{\partial q} = 0$, che ha dimensione 2-2 = 0. Questa è ovviamente l'intersezione delle 1-varietà descritte rispettivamente da $\frac{\partial V}{\partial \theta} = 0$ e $\frac{\partial V}{\partial \phi} = 0$; l'equazione $sin(\theta) - \phi = 0$ è una di queste due e definisce implicitamente una di queste due 1-varietà. Ovviamente, siccome siamo vincolati su questa 1-varietà, le due coordinate (che sono una di troppo) non possono essere indipendenti. Per cui chi ti dice che non si può scrivere $\phi = sin(\theta)$ ha torto, secondo me. Mi sembra un po' come dire che l'equazione di un cerchio non si può scrivere come $x^2 = r^2 - y^2$ perché x ed y devono essere indipendenti. Ovviamente la relazione sopra non può e non deve valere nell'intera 2-varietà, ma questo è ovvio.
Lo spazio delle configurazioni del sistema è la 2-varietà $\mathbb{S}^2$, q è una carta di coordinate su questa varietà, e le componenti sono ovviamente indipendenti. Tu stai cercando la sottovarietà in cui $\frac{\partial V}{\partial q} = 0$, che ha dimensione 2-2 = 0. Questa è ovviamente l'intersezione delle 1-varietà descritte rispettivamente da $\frac{\partial V}{\partial \theta} = 0$ e $\frac{\partial V}{\partial \phi} = 0$; l'equazione $sin(\theta) - \phi = 0$ è una di queste due e definisce implicitamente una di queste due 1-varietà. Ovviamente, siccome siamo vincolati su questa 1-varietà, le due coordinate (che sono una di troppo) non possono essere indipendenti. Per cui chi ti dice che non si può scrivere $\phi = sin(\theta)$ ha torto, secondo me. Mi sembra un po' come dire che l'equazione di un cerchio non si può scrivere come $x^2 = r^2 - y^2$ perché x ed y devono essere indipendenti. Ovviamente la relazione sopra non può e non deve valere nell'intera 2-varietà, ma questo è ovvio.
Mmm sinceramente non abbiamo affrontato il discorso in maniera approfondita, il corso di meccanica è in parallelo con quello di geometria differenziale quindi di varietà non ne abbiamo parlato 
Comunque, nonostante tutto, penso di avere un idea un po' piu chiara grazie! 
Comunque, nonostante tutto, penso di avere un idea un po' piu chiara grazie!
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