Collasso gravitazionale
Ciao a tutti
ho un esercizio di meccanica classica che mi sta dando qualche problema.
Penso che questo sia il classico problema dello studio della lagrangiana nel caso di forze centrali
Ho tre corpi di massa $m$ posti come in figura
Per prima cosa il testo mi chiede perchè si può lavorare fin da subito con la lagrangiana ridotta
[tex]L\left( \left\{ q^{\alpha} \right\} ,\left\{ \dot{q}^{\alpha} \right\} \right) = \sum_{\alpha=1}^{3}\left( \frac{m}{2} (\dot{q}^{\alpha})^{2}-V(q^{\alpha}) \right)[/tex]
e come è il pontenziale $V(q^(alpha))$
io ho pensato che si possa lavorare con la lagrangiana ridotta perchè il potenziale in questo caso è il potenziale gravitazionale e non dipende direttamente dal tempo, E' corretto?
Come si esprime il potenziale?
chiamando $s_1$, $s_2$ e $s_3$ le distanze tra la tre masse, ho visto che il potenziale "generico" sarebbe
$V=-G( (m_1 m_2)/s_3 + (m_2 m_3)/s_1 + (m_1 m_3)/s_2)$
essendo che nel mio caso le tre masse sono poste come un triangolo rettangolo e sono tre masse uguali ho $s_1 = s_2 = s_3 = s$ e che $m_1 = m_2 = m_3 = m$ quindi il potenziale diventa
$V=-3G m^2/s$
è corretto?
ammesso che lo sia il mio problema nasce quando ricavare l'equazione del movimento
applico l'equazione di Eulero-Lagrange per esempio per la massa $m_1$ che quindi avrà distanza rispetto al centro pari a $r_1$ che uso come coordinata generalizzata
quindi ho
$d/(dt) ( (partial L)/(partial \dot{r_1} )) - (partial V(r_1))/(partial r_1) = 0$
ho calcolato che
$d/(dt) ( (partial L)/(partial \dot{r_1} )) = m\ddot{r_1} $
mentre
$(partial V(r_1))/(partial r_1) = (partial )/(partial r_1) (-3G m^2/s_1)$
per determinare quanto valga $s_1$ ho pensato che essendo il triangolo equilatero abbia gli angoli pari a $pi/3$ quindi
$s = 2 r cos(pi/3)$
quindi
$(partial )/(partial r_1) (-3G m^2/s_1) = (partial )/(partial r_1) (-3G m^2/(2 r_1 cos(pi/3))) = (partial )/(partial r_1) (- sqrt(3) G m^2/r_1) = sqrt(3) G (m^2/r_1^2)$
a questo punto ho che
$m \ddot(r_1)=- sqrt(3) G (m^2/r_1^2)$
ovvero un'equazione differenziale nella forma
$y'' + A/y=0$
che sinceramente non so bene come risolvere. Ho però il dubbio di aver fatto qualche ragionamento sbagliato e quindi essere bloccato a causa di qualche errore.
Qualcuno può darmi una mano?
Grazie mille
ho un esercizio di meccanica classica che mi sta dando qualche problema.
Penso che questo sia il classico problema dello studio della lagrangiana nel caso di forze centrali
Ho tre corpi di massa $m$ posti come in figura
Per prima cosa il testo mi chiede perchè si può lavorare fin da subito con la lagrangiana ridotta
[tex]L\left( \left\{ q^{\alpha} \right\} ,\left\{ \dot{q}^{\alpha} \right\} \right) = \sum_{\alpha=1}^{3}\left( \frac{m}{2} (\dot{q}^{\alpha})^{2}-V(q^{\alpha}) \right)[/tex]
e come è il pontenziale $V(q^(alpha))$
io ho pensato che si possa lavorare con la lagrangiana ridotta perchè il potenziale in questo caso è il potenziale gravitazionale e non dipende direttamente dal tempo, E' corretto?
Come si esprime il potenziale?
chiamando $s_1$, $s_2$ e $s_3$ le distanze tra la tre masse, ho visto che il potenziale "generico" sarebbe
$V=-G( (m_1 m_2)/s_3 + (m_2 m_3)/s_1 + (m_1 m_3)/s_2)$
essendo che nel mio caso le tre masse sono poste come un triangolo rettangolo e sono tre masse uguali ho $s_1 = s_2 = s_3 = s$ e che $m_1 = m_2 = m_3 = m$ quindi il potenziale diventa
$V=-3G m^2/s$
è corretto?
ammesso che lo sia il mio problema nasce quando ricavare l'equazione del movimento
applico l'equazione di Eulero-Lagrange per esempio per la massa $m_1$ che quindi avrà distanza rispetto al centro pari a $r_1$ che uso come coordinata generalizzata
quindi ho
$d/(dt) ( (partial L)/(partial \dot{r_1} )) - (partial V(r_1))/(partial r_1) = 0$
ho calcolato che
$d/(dt) ( (partial L)/(partial \dot{r_1} )) = m\ddot{r_1} $
mentre
$(partial V(r_1))/(partial r_1) = (partial )/(partial r_1) (-3G m^2/s_1)$
per determinare quanto valga $s_1$ ho pensato che essendo il triangolo equilatero abbia gli angoli pari a $pi/3$ quindi
$s = 2 r cos(pi/3)$
quindi
$(partial )/(partial r_1) (-3G m^2/s_1) = (partial )/(partial r_1) (-3G m^2/(2 r_1 cos(pi/3))) = (partial )/(partial r_1) (- sqrt(3) G m^2/r_1) = sqrt(3) G (m^2/r_1^2)$
a questo punto ho che
$m \ddot(r_1)=- sqrt(3) G (m^2/r_1^2)$
ovvero un'equazione differenziale nella forma
$y'' + A/y=0$
che sinceramente non so bene come risolvere. Ho però il dubbio di aver fatto qualche ragionamento sbagliato e quindi essere bloccato a causa di qualche errore.
Qualcuno può darmi una mano?
Grazie mille
Risposte
Up
Potresti spiegare meglio cosa richiede il problema? Cosa significa l'immagine che hai postato? Rappresenta la configurazione iniziale del sistema? Non credo che tu possa scrivere il potenziale in quel modo, perchè equivarrebbe a fissare le distanze tra i corpi, vincolando così la dinamica, a meno che appunto i corpi non siano vincolati a muoversi rigidamente.
alephy grazie per avermi risposto
ormai non mi serviva più, nell'attesa ho avuto modo di trovare la soluzione e ho visto che ero nella direzione giusta
grazie comunque
ormai non mi serviva più, nell'attesa ho avuto modo di trovare la soluzione e ho visto che ero nella direzione giusta
grazie comunque
Figurati Summwerwind, mi dispiace di aver visto il topic troppo tardi! Ciao, a presto
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