Collasso funzione d'onda, aiuto.
Vorrei avere giusto un chiarimento sul significato di tale fenomeno ,in modo piu semplice possibile.
In pratica quello che ho capito è che la soluzione generale dell'equazione di schrodinger ,una funzione(d'onda),è in genere in realtà una combinazione lineare delle possibile soluzioni particolari $ psi_n $ che si possono calcolare in genere riformulando l'equazione differenziale di schrodinger(quella indiendente dal tempo,per semplicità)in un problema agli autovalori:
$ Hpsi=Epsi $
In questa espressione le incognite sono due: la funzione d'onda e l'energia...in genere si parla piu precisamente di energie $ E_n $ (in quanto gli autovalori che si ottengono sono piu di uno) e percio di autostati $ psi_n $ associati a quel particolare valore di energia.
Quindi $ psi_n $ definisce da quello che ho ben capito un particolare stato in cui si puo trovare un sistema quantistico che ha associato un particolare valore di energia $ E_n $
Ora queste $ psi_n $ corrispondono evidentemente a soluzioni particolari di $ psi(x) $ .
La soluzione generale ,seguendo anche l'analogia della meccanica ondulatoria classica(dove un certo fenomeno poteva essere espresso da una soluzione particolare sen/cos e quella generale era una combinazione lineare di essi), dovra essere una qualche sua combinazione lineare:
$ psi(x)= sum_(n = \1ldots,oo ) c_npsi_n $
fin qui a GROSSE LINEE(non faccio un corso di MQ in fisica) è giusto quello che ho detto?
Ora ho dato uno sguardo alla teoria del collasso della funzione d'onda e ho qualche dubbio:
Da quello che ho capito In genere lo stato $ psi_n $ di un sistema quantistico in cui si trova in un dato istante è incognito a priori...percio deduco da quanto detto fino ad ora che sarà incognita anche la sua energia $ E_n $
In particolare lo stato in cui si trova il sistema è una combinazione lineare di tutti quelli ipoteticamente possibili.
Quando pero interagiamo con un sistema quantistico attraverso una misurazione ecco che c'è questo fantomatico COLLASSO di $ psi(x) $ : essa assume ora un determinato autostato $ psi(x)=psi_n $ tra tutti quelli POSSIBILI.
Ma il criterio con il quale viene prediletto un autostato piuttosto che un altro da quello che ho capito è probabilistico,nel senso è piu probabile che all'atto della misurazione la funzione collassi su un autostato piu "probabile"(scusate il gioco di parole) cioè in un autostato $ psi_n $ caratterizzato da un coefficiente $ c_n $ della combinazione lineare con modulo PIU GRANDE.
Ma si dice che è probabile che collassi nell'autostato piu probabile ,non che è certo.
Percio se idealmente (anche se in realtà non si puo) all'istante $ t_o $ facciamo la misurazione ottenendo come risultato ad esempio l'autostato $ psi_1 $ ....se potessimo tornare indietro nel tempo e facessimo la stessa misurazione nelle medesime condizioni non è detto che si otterrebbe nuovamente $ psi_1 $
è corretto tutto ciò?
grazie mille in anticipo a chi è paziente di leggere tutta questa pappardella
In pratica quello che ho capito è che la soluzione generale dell'equazione di schrodinger ,una funzione(d'onda),è in genere in realtà una combinazione lineare delle possibile soluzioni particolari $ psi_n $ che si possono calcolare in genere riformulando l'equazione differenziale di schrodinger(quella indiendente dal tempo,per semplicità)in un problema agli autovalori:
$ Hpsi=Epsi $
In questa espressione le incognite sono due: la funzione d'onda e l'energia...in genere si parla piu precisamente di energie $ E_n $ (in quanto gli autovalori che si ottengono sono piu di uno) e percio di autostati $ psi_n $ associati a quel particolare valore di energia.
Quindi $ psi_n $ definisce da quello che ho ben capito un particolare stato in cui si puo trovare un sistema quantistico che ha associato un particolare valore di energia $ E_n $
Ora queste $ psi_n $ corrispondono evidentemente a soluzioni particolari di $ psi(x) $ .
La soluzione generale ,seguendo anche l'analogia della meccanica ondulatoria classica(dove un certo fenomeno poteva essere espresso da una soluzione particolare sen/cos e quella generale era una combinazione lineare di essi), dovra essere una qualche sua combinazione lineare:
$ psi(x)= sum_(n = \1ldots,oo ) c_npsi_n $
fin qui a GROSSE LINEE(non faccio un corso di MQ in fisica) è giusto quello che ho detto?
Ora ho dato uno sguardo alla teoria del collasso della funzione d'onda e ho qualche dubbio:
Da quello che ho capito In genere lo stato $ psi_n $ di un sistema quantistico in cui si trova in un dato istante è incognito a priori...percio deduco da quanto detto fino ad ora che sarà incognita anche la sua energia $ E_n $
In particolare lo stato in cui si trova il sistema è una combinazione lineare di tutti quelli ipoteticamente possibili.
Quando pero interagiamo con un sistema quantistico attraverso una misurazione ecco che c'è questo fantomatico COLLASSO di $ psi(x) $ : essa assume ora un determinato autostato $ psi(x)=psi_n $ tra tutti quelli POSSIBILI.
Ma il criterio con il quale viene prediletto un autostato piuttosto che un altro da quello che ho capito è probabilistico,nel senso è piu probabile che all'atto della misurazione la funzione collassi su un autostato piu "probabile"(scusate il gioco di parole) cioè in un autostato $ psi_n $ caratterizzato da un coefficiente $ c_n $ della combinazione lineare con modulo PIU GRANDE.
Ma si dice che è probabile che collassi nell'autostato piu probabile ,non che è certo.
Percio se idealmente (anche se in realtà non si puo) all'istante $ t_o $ facciamo la misurazione ottenendo come risultato ad esempio l'autostato $ psi_1 $ ....se potessimo tornare indietro nel tempo e facessimo la stessa misurazione nelle medesime condizioni non è detto che si otterrebbe nuovamente $ psi_1 $
è corretto tutto ciò?
grazie mille in anticipo a chi è paziente di leggere tutta questa pappardella
Risposte
Ciao!
Quello che hai detto credo sia giusto.. provo a farti un riassunto di tutto quello che succede così puoi vedere direttamente tu se quello che hai capito è giusto o meno.
La domanda che ci poniamo è : "come ricavare la $\Psi(x,t)$ ?"
La risposta viene data risolvendo l'equazione di schroedinger dipendente dal tempo, ovvero :
$ih(\partial\Psi)/(\partial t) = -h^2/(2m) * (\partial^2 \Psi)/(\partial x^2) + V\Psi$
Questa equazione si risolve per un determinato potenziale $V(x,t)$. Se il potenziale NON dipende dal tempo allora, l'equazione si può risolvere separando le variabili, cioè:
$\Psi(x,t) = \psi(x)*f(t)$
Da questa separazione otteniamo due cose:
- $f(t) = e^((-iEt)/h)$
- La seconda cosa che otteniamo è un'equazione chiamata equazione di schroedinger non dipendete dal tempo che è :
$-h^2/(2m) * (d^2 \psi)/(d x^2) + V\psi = E\psi$
Ovviamente questa equazione NON la possiamo risolvere finché non si avrà un potenziale $V(x)$ su cui risolverla... (questa era la domanda che avevi posto ieri).
Notiamo quindi che non dobbiamo preoccuparci dell'equazione di shcroedinger dipendete dal tempo, perché basta risolvere quella indipendente e poi moltiplicare per il fattore di evoluzione temporale, ovvero :
$\Psi(x,t) = \psi(x) * e^((-iEt)/h)$
Uno stato del genere è chiamato stato stazionario ovvero che, sebbene la funzione d'onda dipenda (ovviamente) da tempo, la sua densità di probabilità invece NO!
$|\Psi(x,t)|^2 = |psi(x)|^2$
come puoi verificare facilmente.
Ora, l'equazione di schroedinger non dipendete dal tempo quando la risolviamo otteniamo un insieme infinito di soluzioni ($\psi_1$ , $\psi_2$ ...., $\psi_n$), ognuna associata ad un valore dell'energia $E_1 , E_2 ..., E_n$.
Le $\psi_n$ sono chiamate autofunzioni mentre le E_n sono gli autovalori dell'hamiltoniana.
Una ulteriore proprietà dell'equazione di schroedinger è che ogni combinazione lineare delle soluzioni è anch'essa una soluzione.
Quindi OGNI stato può essere visto come una combinazione lineare delle $\psi_n$ :
$ psi(x)= sum_(n = \1ldots,oo ) c_npsi_n $
Ora passiamo alla parte finale della tua domanda : il collasso della funzione d'onda.
Come dici giustamente, uno stato quantistico prima della misura può trovarsi in una combinazione lineare di tutte le possibili situazioni. Quando avviene una misura la funzione d'onda collassa in modo probabilistico in uno degli stati della combinazione lineare precedente.
Ma che cosa succede se dopo la misura si misura di nuovo il sistema quantistico? Beh, ovviamente, si ottiene sempre il risultato "collassato" di prima.
Provo a farti un esempio... probabilmente lo conosci già : Il gatto di schroedinger.
Te lo riporto comunque :
"Un gatto viene messo in una stanza con pareti metalliche insieme con il seguente congegno infernale: All'interno di un contatore Geiger c'è una piccolissima quantità di una sostanza radioattiva, così piccola che c'è uguale probabilità che in un ora decada uno degli atomi o che non ne decada nessuno.
Se uno decade, allora il contenitore scatta e tramite un relè attiva un martelletto che rompe la fiala contenente cianuro. Se si prepara il sistema e si aspetta un'ora, si può dire che il gatto è vivo se non è decaduto nessun atomo : il primo decadimento avrebbe causato il suo avvelenamento. La funzione d'onda dell'intero sistema dovrebbe esprimere questa situazione contendendo parti uguali di gatto vivo e gatto morto."
Alla fine dell'ora quindi, la funzione d'onda del gatto ha la forma seguente :
$\psi = 1/sqrt(2)*\psi_(vivo) + 1/sqrt(2)*\psi_(dead)$
poi quando si va a misurare, ovvero guardare dentro la scatola, la funzione d'onda collassa o in $\psi_(dead)$ o in $\psi_(vivo)$. Ma prima della misura il gatto si può definire con uguale probabilità sia morto che vivo.
( il coefficiente $1/sqrt(2)$ sta ad indicare una probabilità del 50%)
Per quanto riguarda la tua domanda finale... la penso anche io come te.. ma quello che dici (come hi notato tu) non è possibile nella vita reale (tornare dietro nel tempo) quindi quello che posso dirti è solo una mia supposizione.
Scusa se ho scritto tanto e scusa se ho scritto cose che probabilmente già sapevi.. spero ti sia stato d'aiuto comunque
Quello che hai detto credo sia giusto.. provo a farti un riassunto di tutto quello che succede così puoi vedere direttamente tu se quello che hai capito è giusto o meno.
La domanda che ci poniamo è : "come ricavare la $\Psi(x,t)$ ?"
La risposta viene data risolvendo l'equazione di schroedinger dipendente dal tempo, ovvero :
$ih(\partial\Psi)/(\partial t) = -h^2/(2m) * (\partial^2 \Psi)/(\partial x^2) + V\Psi$
Questa equazione si risolve per un determinato potenziale $V(x,t)$. Se il potenziale NON dipende dal tempo allora, l'equazione si può risolvere separando le variabili, cioè:
$\Psi(x,t) = \psi(x)*f(t)$
Da questa separazione otteniamo due cose:
- $f(t) = e^((-iEt)/h)$
- La seconda cosa che otteniamo è un'equazione chiamata equazione di schroedinger non dipendete dal tempo che è :
$-h^2/(2m) * (d^2 \psi)/(d x^2) + V\psi = E\psi$
Ovviamente questa equazione NON la possiamo risolvere finché non si avrà un potenziale $V(x)$ su cui risolverla... (questa era la domanda che avevi posto ieri).
Notiamo quindi che non dobbiamo preoccuparci dell'equazione di shcroedinger dipendete dal tempo, perché basta risolvere quella indipendente e poi moltiplicare per il fattore di evoluzione temporale, ovvero :
$\Psi(x,t) = \psi(x) * e^((-iEt)/h)$
Uno stato del genere è chiamato stato stazionario ovvero che, sebbene la funzione d'onda dipenda (ovviamente) da tempo, la sua densità di probabilità invece NO!
$|\Psi(x,t)|^2 = |psi(x)|^2$
come puoi verificare facilmente.
Ora, l'equazione di schroedinger non dipendete dal tempo quando la risolviamo otteniamo un insieme infinito di soluzioni ($\psi_1$ , $\psi_2$ ...., $\psi_n$), ognuna associata ad un valore dell'energia $E_1 , E_2 ..., E_n$.
Le $\psi_n$ sono chiamate autofunzioni mentre le E_n sono gli autovalori dell'hamiltoniana.
Una ulteriore proprietà dell'equazione di schroedinger è che ogni combinazione lineare delle soluzioni è anch'essa una soluzione.
Quindi OGNI stato può essere visto come una combinazione lineare delle $\psi_n$ :
$ psi(x)= sum_(n = \1ldots,oo ) c_npsi_n $
Ora passiamo alla parte finale della tua domanda : il collasso della funzione d'onda.
Come dici giustamente, uno stato quantistico prima della misura può trovarsi in una combinazione lineare di tutte le possibili situazioni. Quando avviene una misura la funzione d'onda collassa in modo probabilistico in uno degli stati della combinazione lineare precedente.
Ma che cosa succede se dopo la misura si misura di nuovo il sistema quantistico? Beh, ovviamente, si ottiene sempre il risultato "collassato" di prima.
Provo a farti un esempio... probabilmente lo conosci già : Il gatto di schroedinger.
Te lo riporto comunque :
"Un gatto viene messo in una stanza con pareti metalliche insieme con il seguente congegno infernale: All'interno di un contatore Geiger c'è una piccolissima quantità di una sostanza radioattiva, così piccola che c'è uguale probabilità che in un ora decada uno degli atomi o che non ne decada nessuno.
Se uno decade, allora il contenitore scatta e tramite un relè attiva un martelletto che rompe la fiala contenente cianuro. Se si prepara il sistema e si aspetta un'ora, si può dire che il gatto è vivo se non è decaduto nessun atomo : il primo decadimento avrebbe causato il suo avvelenamento. La funzione d'onda dell'intero sistema dovrebbe esprimere questa situazione contendendo parti uguali di gatto vivo e gatto morto."
Alla fine dell'ora quindi, la funzione d'onda del gatto ha la forma seguente :
$\psi = 1/sqrt(2)*\psi_(vivo) + 1/sqrt(2)*\psi_(dead)$
poi quando si va a misurare, ovvero guardare dentro la scatola, la funzione d'onda collassa o in $\psi_(dead)$ o in $\psi_(vivo)$. Ma prima della misura il gatto si può definire con uguale probabilità sia morto che vivo.
( il coefficiente $1/sqrt(2)$ sta ad indicare una probabilità del 50%)
Per quanto riguarda la tua domanda finale... la penso anche io come te.. ma quello che dici (come hi notato tu) non è possibile nella vita reale (tornare dietro nel tempo) quindi quello che posso dirti è solo una mia supposizione.
Scusa se ho scritto tanto e scusa se ho scritto cose che probabilmente già sapevi.. spero ti sia stato d'aiuto comunque
Anzitutto grazie!
non scusarti poi di aver scritto tanto perche comunque non è da molto tempo che mi sono addentrato in questo mondo (studio chimica in realtà,ma abbiamo chimica-fisica2 che è praticamente MQ con applicazione alle molecole ecc) e mi piacerebbe comunque affrontare l'argomento in modo chiaro in modo che tali concetti mi rimangano impressi per sempre e non siano solo un qualcosa di spiaccicato in mente per passare l'esame e fine.
Tornando a noi,facendo un racp brevissimo:
si puo dire che la risoluzione di $ psi(x,t) $ ,dal momento che puo scriversi come $ psi(x,t)=psi(x)*e^((-iEt)/h) $ , consista in due passi:
1) risoluzione dell'equazione di schrodingher indipendente dal tempo attraverso (in genere) la risoluzione del ""problema agli autovalori" $ Hpsi=Epsi $
trovando così i vari $ psi_n $ e $ E_n $ associati.
2)sostituzione della forma generale di $ psi_n $ (tendola in forma "implicita" ,cioè con di un $ "n" $ generico e non esplicitato con un suo particolare valore) e del generico $ E_n $ in $ psi(x,t)=psi_n(x,t)=psi_n(x)*e^((-iE_nt)/h) $
in modo cosi di ottenere la soluzione generica che fornisce al variare di "n"(o comq delle costanti di quantizzazione) di tutti i possibili autostati che puo assumere il sistema.
Il resto mi è tutto chiaro e hai fatto bene e essere molto preciso
l'unica cosa:
come posso dimostrare che se $ psi(x,t)=psi(x)* $ f(t)=e^((-iEt)/h) $ $
allora $ |psi(x,t)|^2=psi(t) $
cioè che il modulo quadro della funzione d'onda è uguale solo alla parte spaziale ?
dove sparisce la parte temporale $ psi(t) $ ?
scusa se la domanda puo essere banale.
GRazie!!
non scusarti poi di aver scritto tanto perche comunque non è da molto tempo che mi sono addentrato in questo mondo (studio chimica in realtà,ma abbiamo chimica-fisica2 che è praticamente MQ con applicazione alle molecole ecc) e mi piacerebbe comunque affrontare l'argomento in modo chiaro in modo che tali concetti mi rimangano impressi per sempre e non siano solo un qualcosa di spiaccicato in mente per passare l'esame e fine.
Tornando a noi,facendo un racp brevissimo:
si puo dire che la risoluzione di $ psi(x,t) $ ,dal momento che puo scriversi come $ psi(x,t)=psi(x)*e^((-iEt)/h) $ , consista in due passi:
1) risoluzione dell'equazione di schrodingher indipendente dal tempo attraverso (in genere) la risoluzione del ""problema agli autovalori" $ Hpsi=Epsi $
trovando così i vari $ psi_n $ e $ E_n $ associati.
2)sostituzione della forma generale di $ psi_n $ (tendola in forma "implicita" ,cioè con di un $ "n" $ generico e non esplicitato con un suo particolare valore) e del generico $ E_n $ in $ psi(x,t)=psi_n(x,t)=psi_n(x)*e^((-iE_nt)/h) $
in modo cosi di ottenere la soluzione generica che fornisce al variare di "n"(o comq delle costanti di quantizzazione) di tutti i possibili autostati che puo assumere il sistema.
Il resto mi è tutto chiaro e hai fatto bene e essere molto preciso
l'unica cosa:
come posso dimostrare che se $ psi(x,t)=psi(x)* $ f(t)=e^((-iEt)/h) $ $
allora $ |psi(x,t)|^2=psi(t) $
cioè che il modulo quadro della funzione d'onda è uguale solo alla parte spaziale ?
dove sparisce la parte temporale $ psi(t) $ ?
scusa se la domanda puo essere banale.
GRazie!!
Di niente!
Direi che hai capito tutto benissimo. L'unica cosa che forse non è correttissima è il tuo punto due.
Non ho capito bene cosa intendi per "in modo così da ottenere la soluzione generica che fornisce al variare di "n"."
Quello che si fa quando si ottengono le soluzioni $\psi_n(x)$ è di trovare (come dici tu) $\Psi(x,t)$ moltiplicando per $f(t)$.
Tutto qua.
Per quanto riguarda la tua domanda, ecco la dimostrazione :
$|\Psi(x,t)|^2 = \Psi^* \Psi = e^((iEt)/h)\psi(x)*e^((-iEt)/h)\psi(x) = |\psi(x)|^2$
Spero ti sia d'aiuto!
PS: non si vede benissimo comunque il secondo passaggio della dimostrazione in pratica è un prodotto tra la funzione d'onda e la funzione d'onda complessa coniugata. (per la definizione di $|\Psi|^2$
Direi che hai capito tutto benissimo. L'unica cosa che forse non è correttissima è il tuo punto due.
Non ho capito bene cosa intendi per "in modo così da ottenere la soluzione generica che fornisce al variare di "n"."
Quello che si fa quando si ottengono le soluzioni $\psi_n(x)$ è di trovare (come dici tu) $\Psi(x,t)$ moltiplicando per $f(t)$.
Tutto qua.
Per quanto riguarda la tua domanda, ecco la dimostrazione :
$|\Psi(x,t)|^2 = \Psi^* \Psi = e^((iEt)/h)\psi(x)*e^((-iEt)/h)\psi(x) = |\psi(x)|^2$
Spero ti sia d'aiuto!
PS: non si vede benissimo comunque il secondo passaggio della dimostrazione in pratica è un prodotto tra la funzione d'onda e la funzione d'onda complessa coniugata. (per la definizione di $|\Psi|^2$
ok grazie mille!!
per quanto riguarda la parte dove forse non mi sono spiegato bene. provo a rispiegarmi:
semplicemente intendevo che una volta risolta l'equazione di schrodinger indipendente dal tempo trovo l'espressione generale degli autovettori( o meglio autofunzioni ) $ psi_n(x) $ e le energia associate $ E_n $ . (se poi assegno ipoteticamente $ n=1 $ troverà l'autostato $ psi_1 $ e il corrispondente valore di energia $ E_1 $ . e cosi via per altri valori di n)
Se però voglio l'espressione della funzione d'onda dipendente dal tempo $ psi(x,t) $ ,voledola il piu generale possibile invece che inserire nell'espressione i valori gia particolarizzati di $ psi_n $ e $ E_n $ (es: $ n=1 $ $ -> psi_1(x),E_1 $ ) mi conviene inserire quelli in cui $ n $ è ancora parametrizzato. è un parametro generico e non assume gia un valore specifico.
Ora mettendo l'espressioni trovate della funzione d'onda dipendente dallo spazio $ psi_n(x) $ e dell'energia associata $ E_n $ nella formula $ psi(x,t)=psi_n(x)*e^((-iE_nt)/h $ trovo l'espressione di $ psi(x,t)=psi_n(x,t) $ PARAMETRIZZATA...
poi se fornisco ad $ n $ un valore specifico, ad esempio $ n=1 $ ,particolarizzando la soluzione,allora otterro un particolare valore di $ psi_n(x,t) $ , cioè $ psi_1(x,t) $ che mi descrive la dipendenza dell'autostato con $ n=1 $ dal tempo $ t $ .
mi pare corretto no?
SPero di essermi espresso in modo piu chiaro ora.
per quanto riguarda la parte dove forse non mi sono spiegato bene. provo a rispiegarmi:
semplicemente intendevo che una volta risolta l'equazione di schrodinger indipendente dal tempo trovo l'espressione generale degli autovettori( o meglio autofunzioni ) $ psi_n(x) $ e le energia associate $ E_n $ . (se poi assegno ipoteticamente $ n=1 $ troverà l'autostato $ psi_1 $ e il corrispondente valore di energia $ E_1 $ . e cosi via per altri valori di n)
Se però voglio l'espressione della funzione d'onda dipendente dal tempo $ psi(x,t) $ ,voledola il piu generale possibile invece che inserire nell'espressione i valori gia particolarizzati di $ psi_n $ e $ E_n $ (es: $ n=1 $ $ -> psi_1(x),E_1 $ ) mi conviene inserire quelli in cui $ n $ è ancora parametrizzato. è un parametro generico e non assume gia un valore specifico.
Ora mettendo l'espressioni trovate della funzione d'onda dipendente dallo spazio $ psi_n(x) $ e dell'energia associata $ E_n $ nella formula $ psi(x,t)=psi_n(x)*e^((-iE_nt)/h $ trovo l'espressione di $ psi(x,t)=psi_n(x,t) $ PARAMETRIZZATA...
poi se fornisco ad $ n $ un valore specifico, ad esempio $ n=1 $ ,particolarizzando la soluzione,allora otterro un particolare valore di $ psi_n(x,t) $ , cioè $ psi_1(x,t) $ che mi descrive la dipendenza dell'autostato con $ n=1 $ dal tempo $ t $ .
mi pare corretto no?
SPero di essermi espresso in modo piu chiaro ora.
Ora va molto meglio!
Allora avevo capito male io!
Allora avevo capito male io!
ok,per il momento allora grazie per i chiarimenti!
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