Circuito RLC (smorzamento critico)

[jollothesmog]

Ho questo esercizio, di cui però non ho la soluzione. L'ho impostato e ho fatto alcuni ragionamenti, tuttavia ho bisogno di qualche indizio per andare avanti. Andando in ordine, ecco il testo
[img]http://www.webpagescreenshot.info/i3/52d70754d2bb81-27785946[/img]
All'istante t=0 viene chiuso l'interruttore del circuito in figura. Il circuito è costituito da un generatore di forza elettromotrice ε=100 V, da una resistenza R=2 kΩ, da un induttore L=0,01H e da un condensatore C=10 nF (inizialmente scarico). Calcolare
a) il valore della corrente I che scorre nel circuito all'istante t=10μF
b) il valore della tensione VL ai capi dell'induttore L all'istante t=10μF
c) il valore della tensione Vc ai capi del condensatore C all'istante t=10μF

Si deve avere
$epsilon=I(t)R+L (dI(t))/(dt) + q/C$

Se derivo tutto per $dt$ e con qualche piccolo aggiustamento
$(d^2 I(t))/(dt^2) + R/L (dI(t))/dt+ (I(t))/(LC)=0$
La presenza del generatore costante quindi non dovrebbe influire sul risultato

Scrivo il polinomio, ponendo $gamma= R/(2L)$ e $omega=1/sqrt(LC)$

In questo caso $gamma=omega$ , ossia abbiamo uno smorzamento critico. La soluzione dovrebbe essere del tipo

$i(t)=e^(-alpha t) (D_1t+D_2)$

Adesso dovrei trovare le condizioni iniziali per trovarmi le due costanti.
Una di queste dovrebbe essere
$i(0)=0$ per cui $D_2=0$

Qualcuno potrebbe aiutarmi a trovare l'altra?

[RenzoDF]

"jollothesmog":Qualcuno potrebbe aiutarmi a trovare l'altra?

L'hai già scritta tu.

BTW occhio a quei μF

[jollothesmog]

RenzoDF, intanto grazie per l'interesse.
Non mi è chiaro il tuo suggerimento. Cioè, con $i(0)=0$ trovo $D_2$ , ma non $D_1$ .

Sì, scusate, nei quesiti era $mu s$

[RenzoDF]

Per la condizione diniziale mi riferivo a questa riga

"jollothesmog":... e da un condensatore C=10 nF (inizialmente scarico).

[jollothesmog]

Correggimi se sbaglio.
Il condensatore inizialmente è scarico. Derivo $I(t)$
Trovo (se non erro)
$q(t)= D_1 (1-alpha t) e^(alpha t) $
devo trovare q(0) da quanto ho capito, sapendo che il condensatore è scarico. quindi è come se avessi in quell'istante la fotografia di un circuito RL... e la carica è semplicemente $C epsilon$ ?

[RenzoDF]

Il concetto fondamentale è quello che in una rete non degenere come questa le variabili di stato, in questo caso iL e vC non possono presentare discontinuità e di conseguenza alla chiusura dell'interruttore avremo che

$v_C(0+)=v_C(0-)=0$

$i_L(0+)=i_L(0-)=0$

ne segue che per t=0+ avremo tensione nulla su C, corrente nulla nella maglia... tensione nulla su R e quindi ... cosa ci rimane?