Circuito LC in CC in fase di carica
Ciao a tutti!
Qualcuno potrebbe aiutarmi con il seguente esercizio?
Testo del problema:
"Trovare la soluzione generale del circuito LC in CC in fase di carica. Le grandezze richieste sono carica e corrente.
L'equazione è:
$ (d^2Q)/dt^2 + w^2 Q=(E0)/L $
con condizioni iniziali
Q(0)=0;i(0)=0.
Disegnare il grafico della carica in funzione del tempo."
1) non capisco: a cosa si riferisce l'equazione data? perchè non è uguale a zero? E0 è il campo elettrico iniziale?
2) la soluzione dell'eq. differenziale di secondo ordine non omogenea, se non ho commesso errori, dovrebbe essere:
$ Q(t)=(E0)/(Lw^2) (1-cos (wt)) $
E' possibile??? E' sempre positiva, che significato ha?
Grazie in anticipo
Qualcuno potrebbe aiutarmi con il seguente esercizio?
Testo del problema:
"Trovare la soluzione generale del circuito LC in CC in fase di carica. Le grandezze richieste sono carica e corrente.
L'equazione è:
$ (d^2Q)/dt^2 + w^2 Q=(E0)/L $
con condizioni iniziali
Q(0)=0;i(0)=0.
Disegnare il grafico della carica in funzione del tempo."
1) non capisco: a cosa si riferisce l'equazione data? perchè non è uguale a zero? E0 è il campo elettrico iniziale?
2) la soluzione dell'eq. differenziale di secondo ordine non omogenea, se non ho commesso errori, dovrebbe essere:
$ Q(t)=(E0)/(Lw^2) (1-cos (wt)) $
E' possibile??? E' sempre positiva, che significato ha?
Grazie in anticipo
Risposte
Il circuito dovrebbe essere formato da: una batteria (con ddp $E_0$), un interruttore, una induttanza, un condensatore. L'interruttore si chiude al tempo 0, con condensatore scarico.
Non mi pare inverosimile che la carica del condensatore oscilli fra zero e il massimo, senza invertirsi mai..
Non mi pare inverosimile che la carica del condensatore oscilli fra zero e il massimo, senza invertirsi mai..
Il secondo principio di Kirchhoff si traduce in questa equazione differenziale:
$E_0 = L \frac {di}{dt} + u$ ,
dove $i$ è la corrente del circuito, $u$ la tensione sul condensatore e $E_0$ la forza elettromotrice continua.
Poiché
$i = \frac {dQ}{dt}$
$u = \frac {Q}{C}$ ,
si ricava:
$E_0 = L \frac {d^2Q}{dt^2} + \frac {Q}{C}$
e di qui, dividendo per L, ottieni la tua equazione, avendo posto:
$w = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ , che è la pulsazione del circuito.
Se risolvi questa equazione differenziale, trovi:
$Q(t) = E_0 C [1 - \cos(\frac{t}{\sqrt{LC}})]$ ,
che è una curva che oscilla fra i valori $0$ e $\2E_0 C$ .
La carica sul condensatore parte dal valore $0$, cresce fino a $2E_0 C$ , ritorna a zero, cresce di nuovo fino a $\2E_0 C$ etc, quindi aumenta e diminuisce, ma non si inverte mai di segno. L'oscillazione attorno alla carica media $E_0 C$ dovuta al generatore è ovviamente legata alla presenza nel circuito di induttanza e condensatore.
Nota: la tua soluzione è corretta, solo che è più significativa se espressa in termini di prodotto tensione per capacità, che, dimensionalmente, è una carica.
$E_0 = L \frac {di}{dt} + u$ ,
dove $i$ è la corrente del circuito, $u$ la tensione sul condensatore e $E_0$ la forza elettromotrice continua.
Poiché
$i = \frac {dQ}{dt}$
$u = \frac {Q}{C}$ ,
si ricava:
$E_0 = L \frac {d^2Q}{dt^2} + \frac {Q}{C}$
e di qui, dividendo per L, ottieni la tua equazione, avendo posto:
$w = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ , che è la pulsazione del circuito.
Se risolvi questa equazione differenziale, trovi:
$Q(t) = E_0 C [1 - \cos(\frac{t}{\sqrt{LC}})]$ ,
che è una curva che oscilla fra i valori $0$ e $\2E_0 C$ .
La carica sul condensatore parte dal valore $0$, cresce fino a $2E_0 C$ , ritorna a zero, cresce di nuovo fino a $\2E_0 C$ etc, quindi aumenta e diminuisce, ma non si inverte mai di segno. L'oscillazione attorno alla carica media $E_0 C$ dovuta al generatore è ovviamente legata alla presenza nel circuito di induttanza e condensatore.
Nota: la tua soluzione è corretta, solo che è più significativa se espressa in termini di prodotto tensione per capacità, che, dimensionalmente, è una carica.
Grazie! Ottima spiegazione!
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