Circuito con induttore?

[Fab527]

Tralasciando la parte grafica, non so bene come impostare il problema.

Durante la chiusura del circuito applicherei la legge di Ohm considerando le due maglie poste a sinistra e a destra del ramo centrale. Suppongo che $ i_1 $ si muove in senso orario nella maglia a sinistra, $i_2$ va in senso orario nella maglia a destra (e $i_1-i_2$ va dall'alto verso il basso nel ramo al centro).

$ V_0 - Ri_1 - R(i_1-i_2) =0 $
$ R(i_1-i_2)-Ri_2-L(di_2)/dt=0 $

Ha senso ciò che ho scritto finora?

Quando si apre l'interruttore $ T' $ la parte del circuito a sinistra del ramo tra $ a$ e $b$ non va più considerata, sommo in serie le due resistenze $R$ rimanenti e a questo punto dovrei avere un andamento di tipo $ i(t) = i_(oo)e^(-t/tau) $ con $ tau = L / (2R) $. Giusto/sbagliato?

[RenzoDF]

"Fab527":... Durante la chiusura del circuito applicherei la legge di Ohm ...

Direi anche Kirchhoff, no?

"Fab527":... Ha senso ciò che ho scritto finora?

Certo, tutto esatto!

"Fab527":... Quando si apre l'interruttore $ T' $ ... Giusto/sbagliato?

Giustissimo!

[Fab527]

Ok allora proseguo. Ricavo $i_1$ dalla prima equazione

$ i_1 = (V_0+Ri_2)/(2R) $

e sostituendo nella seconda $(V_0+Ri_2)/2 - 2Ri_2 - L(di_2)/dt = 0 $ cioè
$ (di_2)/dt + (3R)/(2L)i_2 - V_0/(2L) = 0 $

Questa è un'equazione differenziale lineare del primo ordine, la soluzione dovrebbe essere $ i_2(t) = e^-(t(3R)/(2L))*(i_2)_(t=0)+V_0/2int_(0)^(t) e^-((3R)/(2L)(t-t')) dt' $ e considererei $(i_2)_(t=0)$ nulla per la presenza dell'induttore...sempre corretto?

Nel secondo quesito, una volta trovata la corrente, mi basta semplicemente fare $V_(ab) = R * i$ per trovare la ddp cercata vero? E la $i_(oo)$ la trovo dalle condizioni di regime considerando l'induttore come un cortocircuito?

[RenzoDF]

"Fab527":Ok allora proseguo. Ricavo $i_1$ dalla prima equazione

$ i_1 = (V_0+Ri_2)/(2R) $

e sostituendo nella seconda $(V_0+Ri_2)/2 - 2Ri_2 - L(di_2)/dt = 0 $ cioè
$ (di_2)/dt + (3R)/(2L)i_2 - V_0/(2L) = 0 $

Fin qui ok, poi non capisco cosa hai fatto, ovviamente ti conviene prendere T'=0 come tempo iniziale e poi, una volta risolto sostituirai t con t-t'.

La soluzione la trovi sommando l'integrale generale dell'omogenea associata ad un integrale particolare, che si può ricavare immediatamente dall'equazione differenziale pensando ad una i2(t) costante (soluzione a regime).

Più rapidamente la i2(t) te la potevi ricavae dal circuito equivalente secondo Thevenin visto dall'induttore, prova a fare anche in quel modo; ti sarà spesso utile per reti ad una sola costante di tempo.

"Fab527": Nel secondo quesito, una volta trovata la corrente, mi basta semplicemente fare $V_(ab) = R * i$ per trovare la ddp cercata vero? E la $i_(oo)$ la trovo dalle condizioni di regime considerando l'induttore come un cortocircuito?

Si, ma se vuoi mantenere il verso iniziale la corrente i2 sarà negativa e $V_{ab}=-Ri_2$

[Fab527]

"RenzoDF":Fin qui ok, poi non capisco cosa hai fatto

mi ero confuso con un'equazione a coefficienti non costanti, grazie della correzione.

"RenzoDF": Più rapidamente la i2(t) te la potevi ricavae dal circuito equivalente secondo Thevenin visto dall'induttore, prova a fare anche in quel modo; ti sarà spesso utile per reti ad una sola costante di tempo.

Con thevenin, per trovare la $R_(th)$ gli eventuali capacitori vanno considerati come aperture del circuito, gli induttori come cortocircuiti e i generatori come resistenze interne (se ne hanno) giusto?

In questo caso trovo una $R_(th) = 3/2 R$ e una $ V_(th) = 2Ri_1 $..quindi dovrebbe essere $ i_2(t)=V_(th)/R_(th) (1-e^(-t/tau)) $ con $ tau = L/R_(th)$

"RenzoDF":Si, ma se vuoi mantenere il verso iniziale la corrente i2 sarà negativa e $V_{ab}=-Ri_2$

Per sapere il verso vero della corrente però comunque dovrei risolvere il sistema scritto all'inizio no? Poi in base ai versi veri, se il potenziale da $a$ a $b$ cadrà avrò una $V_(ab)$ positiva, viceversa se aumenterà.

Un'altra cosa...nello scrivere le equazioni delle maglie, per quanto riguarda i segni i termini $L(di)/(dt)$ degli induttori si comportano come le resistenze? E invece per i capacitori come va messo il segno davanti alle $q/C$?

Grazie in anticipo

[RenzoDF]

"Fab527":Con thevenin, per trovare la $R_(th)$ gli eventuali capacitori vanno considerati come aperture del circuito, gli induttori come cortocircuiti e i generatori come resistenze interne (se ne hanno) giusto?

No, Thevenin lo puoi applicare solo se la rete ha solo una costante di tempo, ovvero è presente un solo bipolo con memoria.

"Fab527":In questo caso trovo una $R_(th) = 3/2 R$ e una $ V_(th) = 2Ri_1 $..quindi dovrebbe essere $ i_2(t)=V_(th)/R_(th) (1-e^(-t/tau)) $ con $ tau = L/R_(th)$

$R_(th) = 3/2 R$ e una $ V_(th) = V_0/2$

"Fab527": Per sapere il verso vero della corrente però comunque dovrei risolvere il sistema scritto all'inizio no? Poi in base ai versi veri, se il potenziale da $a$ a $b$ cadrà avrò una $V_(ab)$ positiva, viceversa se aumenterà.

Il verso della corrente è convenzionale, non preoccuparti mai di andare a cercare il verso corrispondente ad un segno positivo.

"Fab527": ...nello scrivere le equazioni delle maglie, per quanto riguarda i segni i termini $L(di)/(dt)$ degli induttori si comportano come le resistenze? E invece per i capacitori come va messo il segno davanti alle $q/C$?

Le equazioni costitutive per i due bipoli, usando la convenzione degli utilizzatori, sono

$v_L=L(di)/(dt)$

$i_C=C(dv)/(dt)$

[Fab527]

Per calcolare la $V_(th)$ non si deve "togliere" il ramo che interessa e trovarla risolvendo il circuito restante? Saresti così gentile da farmi vedere come l'hai calcolata?

[RenzoDF]

Certo, tolta L, avrai che la tensione ai morsetti sarà pari alla tensione fra a e b, ricavabile dalla tensione del GIT via semplicissimo partitore di tensione

$E_{Th}=V_{ab}=V_0R/(R+R)=V_0/2$

[Fab527]

Grazie!