Circuito con due condensatori

[ludwigZero]

Salve
Stavo studiando questo problema da wikipedia (che è simile ad un esercizio di un vecchio compito d'esame), è il n.14

https://it.wikibooks.org/wiki/Esercizi_ ... sistenza_2

il testo è insito nel link stesso, basta cliccare su Vai alla traccia


potete spiegarmi perchè nello stato finale ''la d.d.p. ai capi dei due condensatori deve essere eguale''?
a conservarsi è la carica, mica il voltaggio?

[quantunquemente]

la d.d.p è la stessa perchè i due condensatori sono in parallelo : infatti sulle armature collegate dai fili la carica è dello stesso segno

[ludwigZero]

non capisco la faccenda dei ''fili''

"quantunquemente": infatti sulle armature collegate dai fili la carica è dello stesso segno

Inoltre ho messo come notazione quello riportato qui cioè Q1 sul condensatore in alto e - Q1 su quello in basso e lo stesso per Q2.
Non capisco perchè la corrente sia negativa rispetto alle cariche, ponendo $I$ in senso orario (mi riferisco a quel ''Chiaramente la corrente ....'')

[quantunquemente]

le armature superiori hanno carica dello stesso segno
lo stesso vale per le armature inferiori
quindi i condensatori sono in parallelo ,il che implica che hanno la stessa d.d.p.

[ludwigZero]

ecco, ma dato che c'è quella resistenza...non da ''fastidio'' ai condensatori''?

inoltre, se la corrente va da -Q1 a Q1 come è possibile che la corrente sia:

$I = - d/dt Q_1$

(tra gli appunti leggo di un esercizio simile, solo con condizioni diverse sulla resistenza, che ''aldilà della matematica sulle derivate, il risultato è questo: .... )

cosa significa fare un ragionamento ''sulla matematica delle derivate''? cioè posso ricavarmi il segno anche sapendo una qualche definizione, che ora mi sfugge, sulle derivate?

[RenzoDF]

"ludwigZero":ecco, ma dato che c'è quella resistenza...non da ''fastidio'' ai condensatori''?

Quella resistenza, limita la corrente circolante fra i due condensatori e influenza il tempo di scarica/carica del sistema, ma la carica iniziale Q1=Q0 presente sull'armatura superiore del condensatore di sinistra non potrà che trasferirsi parzialmente sull'armatura superiore di quello destro e conservarsi in quanto non può lasciare "l'isola conduttiva superiore".

Questo trasferimento continuerà fino a quando sarà presente una tensione ai morsetti del resistore, tensione pari alla differenza fra le tensioni sui due condensatori (che supponiamo scelte entrambe con positivo sul morsetto superiore).

Se scegliamo come verso per la corrente quello orario è chiaro che dopo un tempo $dt$ avrà portato alla variazione infinitesima di carica $ dQ_1=-idt$ sul condensatore sinistro e una corrispondente $dQ_2=idt$ sul condensatore destro.

La soluzione proposta però non mi piace, io avrei scritto una semplice KVL

$v_1-Ri-v_2=0$

dalla quale,

$\frac{d v_1}{d t}-R\frac{d i}{d t}-\frac{d v_2}{d t}=0$

ricordando quanto detto sopra e anche la relazione notevole C=Q/V

$-\frac{i}{C}-R\frac{d i}{d t}-\frac{i}{\alpha C}=0$

e quindi, risolvendo

$\lambda=-\frac{1}{RC} (\frac{\alpha+1}{\alpha} )$

e sfruttando la condizione iniziale $i(0)=V_0/R$

$i(t)= \frac{V_0}{R}e^{\lambda t}$

determinare l'energia dissipata nel resistore

$E_d=\int_{0}^{\infty}Ri^2dt=\frac{CV_0^2}{2}(\frac{\alpha}{\alpha+1} )$

... ovviamente, sperando che il resistore ci sia, perché altrimenti son "dolori"!

[ludwigZero]

Ora ho capito tutto, spiegazione esaustiva meglio del professore che ho. Avevo aperto un post in analisi matematica, perchè sempre in questo esercizio svolto da wiki, si ricava la carica 1 in funzione del tempo, e io non mi trovo ..
$dQ_1/(Q_1 (\alpha +1) - Q_0) = - dt/(\alpha C R)$

viene risolto come, integrato da $0$ a $t$

$1/(\alpha +1) ln ((\alpha +1) Q_1(t) - Q_0)/(\alpha Q_0) = -t/(\alpha C R)$

al secondo membro, mi trovo. Ma al primo no! Io avrei fatto così:

$1/(\alpha +1) ln ((\alpha +1) Q_1(t) - Q_0)$

quel $\alpha Q_0$ al denominatore proprio non capisco da dove esca

[RenzoDF]

Arriva dalla condizione iniziale, ovvero da $Q_1(0)=Q_0$, ovvero l'integrale lo devi fare fra 0 e t, e quindi avrai la differenza fra due logaritmi che poi porta ad un logaritmo del rapporto (occhio che la linea di frazione è interna al logaritmo non esterna); d'altra parte quel logaritmo di una carica non avrebbe ancora una volta dimensionalmente senso (sempre la solita storia).