Circuito con condensatori e resistenza?
Per trovare le cariche a regime: quella in $ C $ sarà $ q=0 $ in quanto si trova nella stessa maglia di una resistenza, ai cui capi a regime non scorrerà corrente. Ipotizzando i segni per le altre due
$ { ( q=0 ),( V_0 - q_1/C_1 = 0 ),( q_1/C_1-q_2/C_2=0 ):} $ da cui $ { ( q=0 ),( q_1=C_1V_0 ),( q_2 = C_2V_0 ):} $
Ora il passo successivo dovrebbe essere trovare la costante di tempo del circuito nel processo transitorio iniziale, però non so bene come procedere. Utilizzando Kirchoff, vanno utilizzate alcune maglie piuttosto che altre?
Risposte
Prima di passare al transitorio di scarica, dovresti rispondere alla richiesta sull'energia erogata dal generatore.
BTW Chiamare "capacitore" un condensatore dovrebbe comportare almeno 15 anni di galera.
BTW Chiamare "capacitore" un condensatore dovrebbe comportare almeno 15 anni di galera.
L'energia erogata io direi che è quella immagazzinata nei condensatori a regime ovvero
$ U_1 = 1/2 C_1 (V_1)^2 = 1/2 C_1 (q_1 / C_1)^2 $
$ U_2 = 1/2 C_2 (V_2)^2 = 1/2 C_2 (q_2 / C_2)^2 $
PIù quella che durante il transitorio è stata dissipata sulla resistenza...è per questo che pensavo di trovare prima le correnti: come trovo questo contributo sennò?
$ U_1 = 1/2 C_1 (V_1)^2 = 1/2 C_1 (q_1 / C_1)^2 $
$ U_2 = 1/2 C_2 (V_2)^2 = 1/2 C_2 (q_2 / C_2)^2 $
PIù quella che durante il transitorio è stata dissipata sulla resistenza...è per questo che pensavo di trovare prima le correnti: come trovo questo contributo sennò?
Ti sbagli, prova a pensare ad un'unico generatore ideale di tensione collegato ad un unico condensatore; quanto vale l'energia immagazzinata nel condensatore e quanto quella erogata? 
Hai ragione è il doppio di quello che ho scritto io...per le resistenze però ancora non so
Vedo che sull'energia persa non hai fatto nemmeno una piega ... dove sarà finita la quota mancante?
Ad ogni modo, non ti preoccupare dei resistori, pensa esclusivamente a quantificare la carica che va ad uscire complessivamente dal morsetto positivo del generatore di tensione, dall'istante di chiusura di T a quello della sua apertura; nota quella $Q$, per l'energia erogata basterà un semplice $V_0Q$.
Partiamo per esempio da C1, quanta carica gli viene inviata dal GIT?
BTW tanto per regolarmi sulle risposte posso sapere cosa stai studiando e cosa conosci sulle reti elettriche; conosci per esempio la differenza fra una rete "non degenere" e "degenere", sai usare Laplace?
... dove sarà finita la quota mancante?Ad ogni modo, non ti preoccupare dei resistori, pensa esclusivamente a quantificare la carica che va ad uscire complessivamente dal morsetto positivo del generatore di tensione, dall'istante di chiusura di T a quello della sua apertura; nota quella $Q$, per l'energia erogata basterà un semplice $V_0Q$.
Partiamo per esempio da C1, quanta carica gli viene inviata dal GIT?
BTW tanto per regolarmi sulle risposte posso sapere cosa stai studiando e cosa conosci sulle reti elettriche; conosci per esempio la differenza fra una rete "non degenere" e "degenere", sai usare Laplace?
Sto studiando per fisica generale 2, sulle reti elettriche conosco le leggi di Kirchoff e il teorema di Thevenin, non gli argomenti che hai citato
La differenza penso vada a finire in effetto joule proprio su quella resistenza
Su $C_1$ dovrebbe venire inviata la carica $q_1 = C_1 V_0$ no?
La differenza penso vada a finire in effetto joule proprio su quella resistenza
Su $C_1$ dovrebbe venire inviata la carica $q_1 = C_1 V_0$ no?
"Fab527":
La differenza penso vada a finire in effetto joule proprio su quella resistenza
Se intendi dire sulla R della rete in oggetto, no, andrebbe a finire su un resistore Rs serie e al limite per Rs tendente a zero il modello diventa inadatto in quanto una parte andrebbe su Rs e una parte irradiata, nell'esempio del generatore in parallelo al condensatore il resistore serie non era presente, così come anche nella carica di C1, e di conseguenza bisognerebbe considerare una migliore modellazione del circuito.
"Fab527":
... Su $C_1$ dovrebbe venire inviata la carica $q_1 = C_1 V_0$ no?
Certo, idealmente, una corrente impulsiva andrebbe a caricare istantaneamente C1 portando la carica q1 in un tempo nullo sulle sue armature.
Ora tocca a C2 e C, come la vedi la carica di questi due condensatori alla chiusura di T?
Alla chiusura di T mi verrebbe da dire che $ C $ viene caricato anche lui istantaneamente in quanto sta in parallelo a $V_0$, mentre su $C_2$ compare della carica, ma non quella che si avrebbe a regime
non sono molto convinto però...
non sono molto convinto però...
"Fab527":
Alla chiusura di T mi verrebbe da dire che $ C $ viene caricato anche lui istantaneamente in quanto sta in parallelo a $V_0$, mentre su $C_2$ compare della carica, ma non quella che si avrebbe a regime
... ma anche su C (che non sta in parallelo a V0) la carica non sarà quella a regime.
Quei due condensatori si trovano sostanzialmente in serie nella maglia degenere costituita dal lato del generatore e dai due lati C2 e C e quindi anche in questa maglia alla chiusura di T avremo un impulso di corrente che andrà a caricare istantaneamente C2 e C portando la stessa carica su entrambi; avremo quindi due discontinuità sulla tensione di C2 e sulla tensione di C.
Quanto varranno le tensioni su quei due condensatori al tempo t=0+ ?
Hmm...non mi è chiaro perchè la carica portata dall'impulso iniziale su $C$ e $C_2$ sia la stessa
visto che siamo all'istante iniziale mi verrebbe da dire che vale $V_0$ ma penso sia sbagliato...anche perchè se la carica sui due è la stessa ma le capacità sono diverse, si devono avere due diverse tensioni
visto che siamo all'istante iniziale mi verrebbe da dire che vale $V_0$ ma penso sia sbagliato...anche perchè se la carica sui due è la stessa ma le capacità sono diverse, si devono avere due diverse tensioni
"Fab527":
Hmm...non mi è chiaro perchè la carica portata dall'impulso iniziale su $C$ e $C_2$ sia la stessa
Perché quella maglia Vo-C2-C è priva di resistenza e di conseguenza alla chiusura di T il generatore si trova cortocircuitato visto che C2 e C sono scarichi; ne segue che attraverso quella maglia circola una corrente iniziale infinita (idealmente) la carica trasportata va a caricare i due condensatori con tensioni in proporzione inversa alle relative capacità e di conseguenza la tensione su C sale a 18 volt mentre la tensione su C2 a 6 volt.
Chiaramente essendo la corrente infinita, la corrente derivata da R che sale insieme a Vc al valore massimo di $(18V)/(500k\Omega)=36 \mu A$ è trascurabile.
Ne segue che possiamo ricavarci anche la carica inviata da V0 a C2 istantaneamente alla chiusura di T.
Una volta istantaneamente caricati a quei valori però, C comincerà (molto più lentamente) a scaricarsi su R mentre C2 continuerà a caricarsi, fino a raggiungere i valori finali, 0 per il primo e V0 per il secondo, per t tendente a infinito.
Ok. Proseguendo ho scritto le equazioni per la situazione iniziale di carica
e per quella di scarica chiudendo T' e aprendo T
ti sembrano corrette? Inoltre una cosa che non mi è chiara: quando in un circuito come questo sono presenti svariati condensatori/induttori, la costante di tempo con cui avvengono TUTTE le cariche/scariche etc. è unica per ciascun elemento del circuito vero?
Cioè, lui si riferisce a questa costante di tempo
e per quella di scarica chiudendo T' e aprendo T
ti sembrano corrette? Inoltre una cosa che non mi è chiara: quando in un circuito come questo sono presenti svariati condensatori/induttori, la costante di tempo con cui avvengono TUTTE le cariche/scariche etc. è unica per ciascun elemento del circuito vero?
Cioè, lui si riferisce a questa costante di tempo
"Fab527":
... Proseguendo ho scritto le equazioni per la situazione iniziale di carica
A dire il vero mi aspettavo un completamento sulla richiesta dell'energia fornita dal generatore, ad ogni modo per quanto riguarda le equazioni nella rete durante la carica ok, anche se a vederle scritte in quel modo, mi viene un attacco di orticaria.
Praticamente nella prima hai scritto 3 KVL e una KCL che però non ti serviranno a rispondere alla richiesta del testo in quanto l'unica cosa che devi determinare in fase di carica è la costante di tempo relativa alla corrente nel resistore destro, e per determinarla devi semplicemente metterti nei suoi panni e cercare di capire come viene "vista" la rete da quella posizione circuitale; normalmente si usa Thevenin, ma qui con i condensatori non so come te l'hanno spiegato.
In sostanza comunque puoi anche in questo caso spegnere i generatori indipendenti e determinare la capacità equivalente vista dai morsetti di R; quanto vale?
Nel secondo schema: hai dimenticato che C1 viene cortocircuitato da T', e quindi prima KVL errata come anche ultima KCL e che C non è carico in quel modo indicato sulle armature.
BTW Ti faccio notare che C1 può non essere considerato visto il suo parallelo con un generatore ideale di tensione; C1 sostanzialmente si carica istantaneamente alla chiusutìra di T e poi rimane carico fino alla chiusura di T' istante nel quale si scarica istantaneamente venendo cortocircuitato.
Ne segue che sia nel primo circuito di carica sia nel secondo circuito di scarica ce lo possiamo togliere dai piedi al fine di analizzare l'andamento del resto della rete.
"Fab527":
... Inoltre una cosa che non mi è chiara: quando in un circuito come questo sono presenti svariati condensatori/induttori, la costante di tempo con cui avvengono TUTTE le cariche/scariche etc. è unica per ciascun elemento del circuito vero?
No, in generale in un circuito con più induttori e condensatori il discorso si complica e non si può più parlare di un'unica costante di tempo, in questo caso però, vista la rete degenere, quei tre condensatori, o meglio quei due (C2 e C), possono essere considerati come un unico condensatore equivalente e quindi il discorso si semplifica (impulsi a parte).
"Fab527":
... Cioè, lui si riferisce a questa costante di tempo
Lui si riferisce sempre alla costante di tempo che regola il transitorio sul resistore R, sia durante la carica sia durante la scarica.
Detto questo, dopo aver corretto il secondo circuito ed eliminato da entrambi C1, prova a dirmi quale condensatore equivalente "vede" R nei due casi.
Intanto grazie per l'aiuto, mi sbaglio sempre ma almeno sto imparando qualcosa
Per l'energia a quanto ho capito sarà $ U = V_0 (q+q_1 + q_2)$, dove con le $q$ piccole si intendono le cariche inviate complessivamente dal generatore. Visto che non ci sono resistenze nelle maglie considerate si potranno considerare le cariche inviate già all'istante iniziale e $q_1=C_1V_0$, $q=C*18V$ e $q_2=C_2*6V$
Riscrivendo le equazioni per la scarica
e con $C_(eq)$ intendo il condensatore equivalente vista da $R$ che dovrebbe essere il parallelo di $C$ e $C_2$.
Per la carica
in questo caso se si ha che
allora la $C_(eq)$ dovrebbe essere la stessa di prima, però non mi è chiaro questo procedimento. Thevenin l'ho sempre applicato quando il "resto del circuito" era costituito esclusivamente da generatori e resistenze.
Per l'energia a quanto ho capito sarà $ U = V_0 (q+q_1 + q_2)$, dove con le $q$ piccole si intendono le cariche inviate complessivamente dal generatore. Visto che non ci sono resistenze nelle maglie considerate si potranno considerare le cariche inviate già all'istante iniziale e $q_1=C_1V_0$, $q=C*18V$ e $q_2=C_2*6V$
Riscrivendo le equazioni per la scarica
e con $C_(eq)$ intendo il condensatore equivalente vista da $R$ che dovrebbe essere il parallelo di $C$ e $C_2$.
Per la carica
in questo caso se si ha che
puoi anche in questo caso spegnere i generatori indipendenti e determinare la capacità equivalente vista dai morsetti di R
allora la $C_(eq)$ dovrebbe essere la stessa di prima, però non mi è chiaro questo procedimento. Thevenin l'ho sempre applicato quando il "resto del circuito" era costituito esclusivamente da generatori e resistenze.
"Fab527":
...Per l'energia a quanto ho capito sarà $ U = V_0 (q+q_1 + q_2)$, dove con le $q$ piccole si intendono le cariche inviate complessivamente dal generatore. Visto che non ci sono resistenze nelle maglie considerate si potranno considerare le cariche inviate già all'istante iniziale e $q_1=C_1V_0$, $q=C*18V$ e $q_2=C_2*6V$
Non proprio, le ultime due cariche q1 e q2 sono la stessa carica, comunque "fuochino"
"Fab527":
...e con $C_(eq)$ intendo il condensatore equivalente vista da $R$ che dovrebbe essere il parallelo di $C$ e $C_2$.
Proprio così.
"Fab527":
...allora la $C_(eq)$ dovrebbe essere la stessa di prima, però non mi è chiaro questo procedimento. Thevenin l'ho sempre applicato quando il "resto del circuito" era costituito esclusivamente da generatori e resistenze.
Già, ad ogni modo, puoi anche ricavartelo dalle tue equazioni, dalla prima , usando la seconda, avrai che
$q_2(t)=[V_0-\frac{q_C(t)}{C}]C_2=[V_0-Ri_3]C_2$
che inserita nella terza, sempre ricordando la seconda, porterà ad una semplice equazione differenziale del primo ordine in i3(t)
$i_3=-RC_2 \frac{ di_3(t) }{ d t}- RC \frac{ di_3(t) }{ d t}=-\frac{ di_3(t) }{ d t}R(C+C_2) $
e quindi dalla relazione fra C2 e C
$ \frac{ di_3(t) }{ d t}4RC+i_3=0$
che ricordando la condizione iniziale $i_3(0)=3/4V_0/R$, porterà alla soluzione
$i_3(t)=3/4V_0/Re^{-t/(4RC)}$
Tutto chiaro
Giusto per chiudere il discorso la carica erogata dal generatore è pari alla somma di quella in C1 e di quella complessiva inviata a C2 per caricarlo completamente fino alla tensione di 24 volt, null'altro.
$Q=(C_1+C_2)V_0$
e chiaramente, nelle funzioni del tempo relative alle correnti nei condensatori e nel generatore ci saranno anche dei termini impulsivi, per esempio quella in C2 sarà
$i_2(t)=\frac{3}{4}V_0C \delta (t)+\frac{9V_0}{16R}e^{-t/(4RC)}$
$Q=(C_1+C_2)V_0$
e chiaramente, nelle funzioni del tempo relative alle correnti nei condensatori e nel generatore ci saranno anche dei termini impulsivi, per esempio quella in C2 sarà
$i_2(t)=\frac{3}{4}V_0C \delta (t)+\frac{9V_0}{16R}e^{-t/(4RC)}$
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