Circuiti RLC in corrente continua
Devo studiare dei circuiti di questo tipo, in corrente continua, con il generatore già a regime, senza cioè tenere conto dei fenomeni di accensione e spegnimento. Se non sbaglio in questa forma:
$a.$ gli induttori sono da considerarsi come semplici conduttori e posti ai capi di una resistenza la cortocircuitano
$b.$ non vale lo stesso per i condensatori, che comunque provocano una caduta di potenziale
$c.$ le resistenza assieme alla fem del generatore determinano la corrente
Sto cercando di studiare alcuni casi:
$1.$ img
$R_{eq}=R+\frac{2R R}{2R+R}$ e $i_1=\frac{\epsilon}{R_{eq}}$.
Per le tre maglie partendo dall'alto:
$\epsilon-i_1 R+i_2R=0 => i_{2}R=i_{1}R-\epsilon => i_{2}=\frac{i_{1}R-\epsilon}{R}$
$-i_2R+i_{3}2R=0 => i_{3}2R=i_{2}R => i_{3}=\frac{i_{2}R}{2R}=\frac{i_{2}}{2}$
$-q(C_{1}^{-1}+C_{2}^{-1}+C_{3}^{-1})+2i_{3}R=0$
$2.$ img
$\epsilon-iR-iR-iR=\epsilon-3iR=0$
$V_A+iR=V_B=>V_A-V_B=iR=V_{AB}$
$iR-q \/ C=0$
$3.$ img
Dalla prima maglia in alto a quella di sinistra per finire con quella di destra:
$-\epsilon_1+i_{1}R+i_{2}R=0$
$\epsilon_2+i_{3}R=0$
$-i_{2}R-q \/ C -i_{3}R=0$
$V_{D}-\epsilon_{2}-i_{3}R=V_{C} => V_{D}-V_{C}=\epsilon_2+i_{3}R=V_{DC}$
$4.$ img
Questo è particolare. E' presente un diodo (mai visto) e per quanto ne so devo calcolare il contributo della corrente continua, quello della corrente alternata e sommare poi le correnti. Ma il diodo?
Sono corrette le considerazioni ed le equazioni dei primi tre circuiti? Per quanto riguarda il quarto?
$a.$ gli induttori sono da considerarsi come semplici conduttori e posti ai capi di una resistenza la cortocircuitano
$b.$ non vale lo stesso per i condensatori, che comunque provocano una caduta di potenziale
$c.$ le resistenza assieme alla fem del generatore determinano la corrente
Sto cercando di studiare alcuni casi:
$1.$ img
$R_{eq}=R+\frac{2R R}{2R+R}$ e $i_1=\frac{\epsilon}{R_{eq}}$.
Per le tre maglie partendo dall'alto:
$\epsilon-i_1 R+i_2R=0 => i_{2}R=i_{1}R-\epsilon => i_{2}=\frac{i_{1}R-\epsilon}{R}$
$-i_2R+i_{3}2R=0 => i_{3}2R=i_{2}R => i_{3}=\frac{i_{2}R}{2R}=\frac{i_{2}}{2}$
$-q(C_{1}^{-1}+C_{2}^{-1}+C_{3}^{-1})+2i_{3}R=0$
$2.$ img
$\epsilon-iR-iR-iR=\epsilon-3iR=0$
$V_A+iR=V_B=>V_A-V_B=iR=V_{AB}$
$iR-q \/ C=0$
$3.$ img
Dalla prima maglia in alto a quella di sinistra per finire con quella di destra:
$-\epsilon_1+i_{1}R+i_{2}R=0$
$\epsilon_2+i_{3}R=0$
$-i_{2}R-q \/ C -i_{3}R=0$
$V_{D}-\epsilon_{2}-i_{3}R=V_{C} => V_{D}-V_{C}=\epsilon_2+i_{3}R=V_{DC}$
$4.$ img
Questo è particolare. E' presente un diodo (mai visto) e per quanto ne so devo calcolare il contributo della corrente continua, quello della corrente alternata e sommare poi le correnti. Ma il diodo?
Sono corrette le considerazioni ed le equazioni dei primi tre circuiti? Per quanto riguarda il quarto?
Risposte
"5mrkv":
Devo studiare dei circuiti di questo tipo, in corrente continua, con il generatore già a regime, senza cioè tenere conto dei fenomeni di accensione e spegnimento. Se non sbaglio in questa forma:
$b.$ non vale lo stesso per i condensatori, che comunque provocano una caduta di potenziale
Ma chi te l'ha detto?
In cc i condensatori vanno considerati come circuiti perfettamente aperti, cioè come se al loro posto non ci fosse niente!
"Falco5x":
[quote="5mrkv"]Devo studiare dei circuiti di questo tipo, in corrente continua, con il generatore già a regime, senza cioè tenere conto dei fenomeni di accensione e spegnimento. Se non sbaglio in questa forma:
$b.$ non vale lo stesso per i condensatori, che comunque provocano una caduta di potenziale
Ma chi te l'ha detto?
In cc i condensatori vanno considerati come circuiti perfettamente aperti, cioè come se al loro posto non ci fosse niente![/quote]
In che senso? Mi spiego meglio
-non cortocircuitano le resistenze
-non vi passa corrente
-ai capi c'è una differenza di potenziale
Ad esempio, ho scritto le equazioni dei primi due circuiti tenendo conto di questo. Sono corrette?
Aggiungo:
$5.$ img
Devo calcolare $V_{A}$, $V_{B}$ e $V_{C}$. Ho trasformato il circuito di sinistra nel circuito di destra. Percorrendolo da $V_i$ fino al nodo a terra ottengo:
$V_C+i_{3}R-i_{2}R=0$ e $i_{3}=0 =>V_{C}=i_{2}R$
$V_{B}+\epsilon -i_{1}R=0 => V_{B}=i_{1}R-\epsilon$
$V_{A}-i_{4}R=0$ e $i_{4}=0 => V_{A}=0$
Dai calcoli sulla maglia centrale:
$\epsilon-3iR=0 => i=\frac{\epsilon}{3R}$
Quindi dato che la corrente sulla maglia centrale è la stessa, pongo $i=i_{1}=-i_{2}$ e:
$V_{C}=i_{2}R=-iR=-\frac{\epsilon R}{3R}=-\frac{\epsilon}{3}$
$V_{B}=i_{1}R-\epsilon=\frac{\epsilon}{3}-\frac{3\epsilon}{3}=\frac{2}{3}\epsilon$
Credo che ti stai complicando la vita per niente.
Ti ho detto che i condensatori è come se non ci fossero, come se fossero dei circuiti aperti dove non circola corrente.
Allora il ramo centrale è come se non ci fosse agli effetti del calcolo del circuito. Dunque si vede a prima vista che la corrente che circola nella maglia grande, l'unica che c'è dunque è $I=E/(3R)$. E di conseguenza si trovano le tensioni in tutti i punti della maglia. Poi sapendo che non circola corrente nel ramo centrale si capisce che la $V_A$ è uguale alla tensione dall'altro capo della resistenza limitrofa, e così pure la $V_C$. Dunque si vede immediatamente che risulta $V_A=0$, $V_C=-RI$ e $V_B=-2RI$
Ti ho detto che i condensatori è come se non ci fossero, come se fossero dei circuiti aperti dove non circola corrente.
Allora il ramo centrale è come se non ci fosse agli effetti del calcolo del circuito. Dunque si vede a prima vista che la corrente che circola nella maglia grande, l'unica che c'è dunque è $I=E/(3R)$. E di conseguenza si trovano le tensioni in tutti i punti della maglia. Poi sapendo che non circola corrente nel ramo centrale si capisce che la $V_A$ è uguale alla tensione dall'altro capo della resistenza limitrofa, e così pure la $V_C$. Dunque si vede immediatamente che risulta $V_A=0$, $V_C=-RI$ e $V_B=-2RI$
Edit: Dimentichiamo i problemi precedenti, più o meno ci sono. Ora compare una cosa nuova. L'equivalente di Thevenin. Vorrei sapere se questo semplice circuito si risolve in questo modo, per avere poi un modello per risolvere gli altri:
$7.$ img
Procedo sulla maglia di destra:
$\epsilon-iR_{3}-iR_{4}=0 => i=\frac{\epsilon}{R_{3}+R_{4}}$
$R_{eq}=\frac{R_{3}R_{4}}{R_{3}+R_{4}}$
$\epsilon_{eq}=iR_{eq}$
E la maglia di destra si "distende" in un ramo composto da un generatore in serie ed una resistenza.
Ha senso?
Up. Ho capito anche Thévenin. Grazie comunque.
Una domanda più teorica. In un circuito RLC posso calcolare le impedenze per ogni ramo e considerarle alla stregua di resistenze per calcolare la corrente, sapendo $f(t)$, con la formula $f(t)=i(t)z_{eq}(t)$?
"5mrkv":Pare di si perché gli esercizi mi tornano
Una domanda più teorica. In un circuito RLC posso calcolare le impedenze per ogni ramo e considerarle alla stregua di resistenze per calcolare la corrente, sapendo $f(t)$, con la formula $f(t)=i(t)z_{eq}(t)$?
Non sono del tutto sicuro di aver capito cosa intendi per impedenza.
La relazione V=ZI si utilizza, però non sempre nel dominio del tempo. In particolare se Z=R allora vale anche nel dominio del tempo, ma se si utilizzano componenti reattivi quali condensatori o induttanze la relazione vale nel dominio della frequenza e viene utilizzata nel calcolo simbolico per il regime stazionario oppure nel dominio della frequenza generalizzata. Ma qui andiamo probabilmente oltre le tue conoscenze, immagino, quindi non vorrei che tu ti facessi troppe illusioni sulla relazione che hai scritto.
Prendiamo un condensatore. La relazione di linearità vale tra la tensione e la carica, infatti Q(t)=CV(t). Pero la carica non è proporzionale alla corrente, ma rappresenta invece l'integrale della corrente nel tempo, dunque se tu scrivi V(t)=Z(t)I(t) questa Z(t) rischia di essere ogni volta diversa in relazione agli andamenti della I e della V, dunque di nessuna utilità.
Insomma forse è meglio che mi chiarisci cosa intendi sia la Z(t) nel caso del condensatore.
La relazione V=ZI si utilizza, però non sempre nel dominio del tempo. In particolare se Z=R allora vale anche nel dominio del tempo, ma se si utilizzano componenti reattivi quali condensatori o induttanze la relazione vale nel dominio della frequenza e viene utilizzata nel calcolo simbolico per il regime stazionario oppure nel dominio della frequenza generalizzata. Ma qui andiamo probabilmente oltre le tue conoscenze, immagino, quindi non vorrei che tu ti facessi troppe illusioni sulla relazione che hai scritto.
Prendiamo un condensatore. La relazione di linearità vale tra la tensione e la carica, infatti Q(t)=CV(t). Pero la carica non è proporzionale alla corrente, ma rappresenta invece l'integrale della corrente nel tempo, dunque se tu scrivi V(t)=Z(t)I(t) questa Z(t) rischia di essere ogni volta diversa in relazione agli andamenti della I e della V, dunque di nessuna utilità.
Insomma forse è meglio che mi chiarisci cosa intendi sia la Z(t) nel caso del condensatore.
Ah, per me la zeta è $R+i(\omega L-\frac{1}{\omega C})$ quindi ad esempio se ho un circuito con due condensatori in parallelo e due induttanze in parallelo ed un generatore $f(t)=V\cos(\omega t+\varphi)$ allora ogni elemento ha la sua $z$, condensatori, resistenze, induttanze. Quindi:
$z_{L\ eq}=\frac{z_{L]z_{L]}{z_{L]+z_{L]}=frac{z_{L]}{2}=i\frac{\omega L}{2}$, etc...
Le tratto alla stregue di resistenze. La situazione generale è questa. Dato un sistema composto da un generatore, qualche resistenza, induttanza e condensatore, risolvere i rapporti che lagano tali quantità in base ai dati forniti.
$z_{L\ eq}=\frac{z_{L]z_{L]}{z_{L]+z_{L]}=frac{z_{L]}{2}=i\frac{\omega L}{2}$, etc...
Le tratto alla stregue di resistenze. La situazione generale è questa. Dato un sistema composto da un generatore, qualche resistenza, induttanza e condensatore, risolvere i rapporti che lagano tali quantità in base ai dati forniti.
Ah va bene, ma allora bisogna ricordare che ci limitiamo a considerare il regime sinusoidale e i risultati del calcolo sono ampiezze e sfasamenti delle corrispondenti funzioni sinusoidali nel tempo.
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