Circuitazione forza non conservativa
L'ultimo passaggio di tale procedimento non mi torna:
"Si ha una forza $ f =(f_1,f_2)=(x_2/(x_1^2+x_2^2),-x_1/(x_1^2+x_2^2)) $. Sebbene si abbia $ (partial f_1)/(partial x_2) = (partial f_2)/(partial x_1) = (x_1^2-x_2^2)/(x_1^2+x_2^2)^2 $ , tale legge di forza non è conservativa, in quanto considerando la curva $ gamma $ di equazione $ x_1^2 + x_2^2 = 1 $, orientata in senso levogiro, si ha l'integrale circuitale $ int_(gamma) f * dl = 2pi $ in violazione della condizione necessaria e sufficiente perchè una legge di forza sia consevativa."
considerando la curva $ gamma $, ovvero la circonferenza di raggio 1 centrata nell'origine, e orientata in senso antiorario, la parametrizzo con $ r(t) = (cos(t),sin(t)) $, da cui $ r'(t) = (-sin(t),cos(t)) $, $ t in [0,2pi] $.
$ int_(gamma) f * dl = int_(0)^(2pi) (sin(t)/(cos^2(t)+sin^2(t)),-cos(t)/(cos^2(t)+sin^2(t))) * (-sin(t),cos(t))dt = int_(0)^(2pi) (sin(t),-cos(t)) * (-sin(t),cos(t))dt = int_(0)^(2pi)-(sin^2(t)+cos^2(t))dt = int_(0)^(2pi)-1dt=-2pi $
Sebbene il risultato che ottengo sia comunque diverso da zero, mi esce col segno opposto. Dove ho sbagliato?
"Si ha una forza $ f =(f_1,f_2)=(x_2/(x_1^2+x_2^2),-x_1/(x_1^2+x_2^2)) $. Sebbene si abbia $ (partial f_1)/(partial x_2) = (partial f_2)/(partial x_1) = (x_1^2-x_2^2)/(x_1^2+x_2^2)^2 $ , tale legge di forza non è conservativa, in quanto considerando la curva $ gamma $ di equazione $ x_1^2 + x_2^2 = 1 $, orientata in senso levogiro, si ha l'integrale circuitale $ int_(gamma) f * dl = 2pi $ in violazione della condizione necessaria e sufficiente perchè una legge di forza sia consevativa."
considerando la curva $ gamma $, ovvero la circonferenza di raggio 1 centrata nell'origine, e orientata in senso antiorario, la parametrizzo con $ r(t) = (cos(t),sin(t)) $, da cui $ r'(t) = (-sin(t),cos(t)) $, $ t in [0,2pi] $.
$ int_(gamma) f * dl = int_(0)^(2pi) (sin(t)/(cos^2(t)+sin^2(t)),-cos(t)/(cos^2(t)+sin^2(t))) * (-sin(t),cos(t))dt = int_(0)^(2pi) (sin(t),-cos(t)) * (-sin(t),cos(t))dt = int_(0)^(2pi)-(sin^2(t)+cos^2(t))dt = int_(0)^(2pi)-1dt=-2pi $
Sebbene il risultato che ottengo sia comunque diverso da zero, mi esce col segno opposto. Dove ho sbagliato?
Risposte
Bravo. Hai ragione tu. Il lavoro e' negativo sulla circuitazione lungo la circonferenza.
Per esempio, nel punto (1,0) la forza e' (0,-1) - rivolta verso il basso
Nel punto (0,1) la forza e' (1,0), diretta verso dx
Nel punto (-1,0) e' (0,1) diretta verso l'alto. Siccome stai girnado in senso antiorario, l'integrale lungo la linea chiusa ti deve venire neagtivo, perche la forza e' opposta allo spostamento.
Per esempio, nel punto (1,0) la forza e' (0,-1) - rivolta verso il basso
Nel punto (0,1) la forza e' (1,0), diretta verso dx
Nel punto (-1,0) e' (0,1) diretta verso l'alto. Siccome stai girnado in senso antiorario, l'integrale lungo la linea chiusa ti deve venire neagtivo, perche la forza e' opposta allo spostamento.
Grazie della conferma.
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